Как можно решить квадратичные неравенства?

1. а) (2х-3)(х+1) > x² + 17
2. б) 11 - х ≥ (х + 1)²
3. в) -3x² ≤ 9х

Алгебра 9 класс Квадратичные неравенства квадратичные неравенства решение неравенств алгебра 9 класс неравенства примеры методы решения неравенств Новый

Решение квадратичных неравенств требует нескольких шагов. Давайте разберем каждое из предложенных неравенств по порядку.

а) (2х-3)(х+1) > x² + 17

1. Сначала упростим неравенство. Раскроем скобки с левой стороны:
2. (2х - 3)(х + 1) = 2х² + 2х - 3х - 3 = 2х² - х - 3.
3. Теперь подставим это в неравенство:
4. 2х² - х - 3 > x² + 17.
5. Переносим все члены в одну сторону:
6. 2х² - х - 3 - x² - 17 > 0.
7. Упрощаем:
8. х² - х - 20 > 0.
9. Теперь решим квадратное уравнение х² - х - 20 = 0. Найдем дискриминант:
10. D = b² - 4ac = (-1)² - 4*1*(-20) = 1 + 80 = 81.
11. Корни уравнения: х₁ = (1 + 9) / 2 = 5, х₂ = (1 - 9) / 2 = -4.
12. Теперь определим промежутки: (-∞, -4), (-4, 5), (5, +∞).
13. Проверяем знаки в каждом промежутке. Получаем, что неравенство выполняется для промежутков:
14. х < -4 и х > 5.

б) 11 - х ≥ (х + 1)²

1. Раскроем скобки справа:
2. 11 - х ≥ х² + 2х + 1.
3. Переносим все в одну сторону:
4. 11 - х - х² - 2х - 1 ≥ 0.
5. Упрощаем:
6. -х² - 3х + 10 ≥ 0.
7. Умножим на -1 (неравенство поменяет знак):
8. х² + 3х - 10 ≤ 0.
9. Найдем дискриминант:
10. D = 3² - 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49.
11. Корни: х₁ = (-3 + 7) / 2 = 2, х₂ = (-3 - 7) / 2 = -5.
12. Промежутки: (-∞, -5), (-5, 2), (2, +∞).
13. Проверяем знаки. Неравенство выполняется на промежутке:
14. -5 ≤ х ≤ 2.

в) -3x² ≤ 9x

1. Сначала перенесем все в одну сторону:
2. -3x² - 9x ≤ 0.
3. Можно вынести -3 за скобки:
4. -3(x² + 3x) ≤ 0.
5. Теперь делим на -3 (неравенство меняет знак):
6. x² + 3x ≥ 0.
7. Вынесем x за скобки:
8. x(x + 3) ≥ 0.
9. Корни: x₁ = 0, x₂ = -3.
10. Промежутки: (-∞, -3), (-3, 0), (0, +∞).
11. Проверяем знаки. Неравенство выполняется на промежутках:
12. x ≤ -3 и x ≥ 0.

Таким образом, мы решили все три неравенства, определив промежутки, где они выполняются.