Как можно решить неравенство 4 в степени x плюс 5 умножить на 9 в степени x меньше чем 6 в степени x плюс 1?

Алгебра 9 класс Неравенства с переменными в показателях решение неравенства алгебра 9 класс неравенства с степенями 4 в степени x 9 в степени x 6 в степени x алгебраические методы Новый

Для решения неравенства 4^x + 5 * 9^x < 6^x + 1, давайте начнем с упрощения выражений. Мы можем заметить, что 4, 9 и 6 можно представить через степени 2 и 3:

• 4 = 2^2, следовательно, 4^x = (2^2)^x = 2^(2x)
• 9 = 3^2, следовательно, 9^x = (3^2)^x = 3^(2x)
• 6 = 2 * 3, следовательно, 6^x = (2 * 3)^x = 2^x * 3^x

Теперь подставим это в неравенство:

2^(2x) + 5 * 3^(2x) < 2^x * 3^x + 1

Теперь давайте сделаем замену переменных, чтобы упростить выражение. Пусть:

• y = 2^x
• z = 3^x

Тогда мы можем переписать неравенство так:

y^2 + 5 * z^2 < y * z + 1

Теперь у нас есть квадратные члены и линейные. Переносим все в одну сторону:

y^2 - y * z + 5 * z^2 - 1 < 0

Теперь это квадратное неравенство относительно y. Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Для этого найдем коэффициенты:

• a = 1
• b = -z
• c = 5z^2 - 1

Теперь находим дискриминант D:

D = b^2 - 4ac = (-z)^2 - 4 * 1 * (5z^2 - 1) = z^2 - 20z^2 + 4 = -19z^2 + 4

Теперь мы должны определить, когда D > 0, чтобы неравенство имело решения:

-19z^2 + 4 > 0

Решим это неравенство:

19z^2 < 4

z^2 < 4/19

z < 2/sqrt(19) или z > -2/sqrt(19) (поскольку z = 3^x, z всегда положительно, мы рассматриваем только z < 2/sqrt(19)).

Теперь возвращаемся к переменной z:

3^x < 2/sqrt(19)

Теперь логарифмируем обе стороны:

x * log(3) < log(2/sqrt(19))

Итак, x < log(2/sqrt(19)) / log(3).

Таким образом, решение неравенства 4^x + 5 * 9^x < 6^x + 1 будет в виде:

x < log(2/sqrt(19)) / log(3).