Как можно решить следующие уравнения:

1. 6cosx + 5sin^2x - 6 = 0
2. 2log(1/9)2 - 3x/x > -1

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические и логарифмические уравнения алгебра решение уравнений Тригонометрия логарифмы неравенства cos sin log математические задачи 9 класс школьная математика Новый

Давайте разберем оба уравнения по очереди.

Первое уравнение: 6cos(x) + 5sin²(x) - 6 = 0.

1. Начнем с замены sin²(x). Мы знаем, что sin²(x) = 1 - cos²(x). Подставим это в уравнение:

• 6cos(x) + 5(1 - cos²(x)) - 6 = 0.

2. Раскроем скобки:

• 6cos(x) + 5 - 5cos²(x) - 6 = 0.

3. Упростим уравнение:

• -5cos²(x) + 6cos(x) - 1 = 0.

4. Умножим все на -1, чтобы упростить вид:

• 5cos²(x) - 6cos(x) + 1 = 0.

5. Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 5, b = -6, c = 1.

6. Подставим значения:

• D = (-6)² - 4 * 5 * 1 = 36 - 20 = 16.
• Корни: cos(x) = (6 ± √16) / (2 * 5) = (6 ± 4) / 10.

7. Найдем два корня:

• cos(x) = 10 / 10 = 1,
• cos(x) = 2 / 10 = 0.2.

8. Теперь найдем углы x:

• cos(x) = 1 → x = 0 + 2πk, k ∈ Z.
• cos(x) = 0.2 → x = arccos(0.2) + 2πk и x = -arccos(0.2) + 2πk.

Второе уравнение: 2log(1/9)2 - 3x/x > -1.

1. Упростим логарифмическую часть. Мы знаем, что log(a^b) = b * log(a), поэтому:

• log(1/9) = log(9^(-1)) = -log(9) = -2log(3).

2. Подставим это в уравнение:

• 2 * (-2log(3)) - 3x/x > -1.

3. Упростим:

• -4log(3) - 3 > -1.

4. Переносим -3 на правую часть:

• -4log(3) > 2.

5. Умножим обе стороны на -1 и поменяем знак неравенства:

• 4log(3) < -2.

6. Разделим обе стороны на 4:

• log(3) < -0.5.

7. Теперь преобразуем это неравенство в экспоненциальную форму:

• 3 < 10^(-0.5).

8. Вычислим 10^(-0.5): это примерно 0.316. Таким образом, 3 > 0.316, что всегда верно.

9. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений x.

Итак, подводя итоги:

• Первое уравнение имеет корни x = 0 + 2πk и x = arccos(0.2) + 2πk, -arccos(0.2) + 2πk.
• Второе неравенство выполняется для всех x.