2025-05-15 11:16:21
Как можно решить следующие уравнения:
- 6cosx + 5sin^2x - 6 = 0
- 2log(1/9)2 - 3x/x > -1
Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические и логарифмические уравнения алгебра решение уравнений Тригонометрия логарифмы неравенства cos sin log математические задачи 9 класс школьная математика
2025-05-15 11:16:46
Давайте разберем оба уравнения по очереди.
Первое уравнение: 6cos(x) + 5sin²(x) - 6 = 0.
1. Начнем с замены sin²(x). Мы знаем, что sin²(x) = 1 - cos²(x). Подставим это в уравнение:
- 6cos(x) + 5(1 - cos²(x)) - 6 = 0.
2. Раскроем скобки:
- 6cos(x) + 5 - 5cos²(x) - 6 = 0.
3. Упростим уравнение:
- -5cos²(x) + 6cos(x) - 1 = 0.
4. Умножим все на -1, чтобы упростить вид:
- 5cos²(x) - 6cos(x) + 1 = 0.
5. Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
- x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 5, b = -6, c = 1.
6. Подставим значения:
- D = (-6)² - 4 * 5 * 1 = 36 - 20 = 16.
- Корни: cos(x) = (6 ± √16) / (2 * 5) = (6 ± 4) / 10.
7. Найдем два корня:
- cos(x) = 10 / 10 = 1,
- cos(x) = 2 / 10 = 0.2.
8. Теперь найдем углы x:
- cos(x) = 1 → x = 0 + 2πk, k ∈ Z.
- cos(x) = 0.2 → x = arccos(0.2) + 2πk и x = -arccos(0.2) + 2πk.
Второе уравнение: 2log(1/9)2 - 3x/x > -1.
1. Упростим логарифмическую часть. Мы знаем, что log(a^b) = b * log(a), поэтому:
- log(1/9) = log(9^(-1)) = -log(9) = -2log(3).
2. Подставим это в уравнение:
- 2 * (-2log(3)) - 3x/x > -1.
3. Упростим:
- -4log(3) - 3 > -1.
4. Переносим -3 на правую часть:
- -4log(3) > 2.
5. Умножим обе стороны на -1 и поменяем знак неравенства:
- 4log(3) < -2.
6. Разделим обе стороны на 4:
- log(3) < -0.5.
7. Теперь преобразуем это неравенство в экспоненциальную форму:
- 3 < 10^(-0.5).
8. Вычислим 10^(-0.5): это примерно 0.316. Таким образом, 3 > 0.316, что всегда верно.
9. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений x.
Итак, подводя итоги:
- Первое уравнение имеет корни x = 0 + 2πk и x = arccos(0.2) + 2πk, -arccos(0.2) + 2πk.
- Второе неравенство выполняется для всех x.
