Как можно решить следующие уравнения:

1. x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0?
2. x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = 0?

Пожалуйста, дайте полное решение.

Алгебра 9 класс Решение уравнений высших степеней решение уравнений алгебра 9 класс уравнения третьей степени уравнения четвертой степени методы решения уравнений примеры уравнений математические задачи алгебраические уравнения

Давайте разберемся с этими уравнениями!

Начнем с первого уравнения:

1. x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0

Чтобы решить это кубическое уравнение, можно попробовать найти хотя бы один корень с помощью подбора. Давайте проверим некоторые значения:

• При x = 1: 1^3 - 4*1^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 (не корень)
• При x = -1: (-1)^3 - 4*(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0 (корень!)

Теперь, когда мы нашли корень x = -1, можем воспользоваться делением многочлена для нахождения остальных корней. Делим x^3 - 4x^2 + x + 6 на (x + 1):

После деления получаем:

x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 5x + 6 = 0, используя формулу корней:

x = (5 ± √(25 - 24)) / 2 = (5 ± 1) / 2

• x1 = 3
• x2 = 2

Таким образом, у нас есть три корня:

x = -1, x = 2, x = 3

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = 0

Это уравнение четвертой степени, и тут можно также попробовать найти корни методом подбора. Проверим несколько значений:

• При x = 1: 1^4 + 5*1^3 + 5*1^2 - 5*1 - 6 = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0 (корень!)

Теперь, когда мы нашли корень x = 1, делим многочлен на (x - 1):

После деления получаем:

x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = (x - 1)(x^3 + 6x^2 + 11x + 6)

Теперь нужно решить кубическое уравнение x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0. Попробуем снова подбирать:

• При x = -1: (-1)^3 + 6*(-1)^2 + 11*(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0 (корень!)

Теперь делим на (x + 1):

Получаем:

x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6)

Теперь решим квадратное уравнение x^2 + 5x + 6 = 0:

x = (-5 ± √(25 - 24)) / 2 = (-5 ± 1) / 2

• x1 = -2
• x2 = -3

Таким образом, у нас есть четыре корня:

x = 1, x = -1, x = -2, x = -3

Итак, подводя итог:

Для первого уравнения корни: x = -1, x = 2, x = 3.

Для второго уравнения корни: x = 1, x = -1, x = -2, x = -3.

Ура! Мы решили оба уравнения!

Давайте поочередно решим оба уравнения. Начнем с первого уравнения:

1. Уравнение x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0

Для решения кубического уравнения можно использовать метод подбора корней и деление многочлена.

Шаг 1: Подбор рациональных корней

Сначала попробуем найти рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях. Поскольку свободный член равен 6, возможные рациональные корни могут быть: ±1, ±2, ±3, ±6.

Шаг 2: Проверка корней

• Подставим x = 1:

1^3 - 4*1^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 (не корень)

• Подставим x = -1:

(-1)^3 - 4*(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0 (корень)

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли корень x = -1, мы можем разделить многочлен x^3 - 4x^2 + x + 6 на (x + 1).

Используем деление многочлена:

1. x^3 делим на x: получаем x^2.
2. Умножаем x^2 на (x + 1): получаем x^3 + x^2.
3. Вычитаем: (x^3 - 4x^2 + x + 6) - (x^3 + x^2) = -5x^2 + x + 6.
4. Делим -5x^2 на x: получаем -5x.
5. Умножаем -5x на (x + 1): получаем -5x^2 - 5x.
6. Вычитаем: (-5x^2 + x + 6) - (-5x^2 - 5x) = 6x + 6.
7. Делим 6x на x: получаем 6.
8. Умножаем 6 на (x + 1): получаем 6x + 6.
9. Вычитаем: (6x + 6) - (6x + 6) = 0.

Таким образом, мы получили: x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6).

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 5x + 6 = 0.

Для этого найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1.

Корни уравнения:

• x1 = (5 + sqrt(1)) / 2 = 3
• x2 = (5 - sqrt(1)) / 2 = 2

Таким образом, корни уравнения x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0: x = -1, x = 2, x = 3.

2. Уравнение x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = 0

Теперь перейдем ко второму уравнению. Здесь также попробуем найти рациональные корни.

Шаг 1: Подбор рациональных корней

Возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±6.

Шаг 2: Проверка корней

• Подставим x = 1:

1^4 + 5*1^3 + 5*1^2 - 5*1 - 6 = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0 (корень)

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь разделим многочлен x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 на (x - 1).

1. x^4 делим на x: получаем x^3.
2. Умножаем x^3 на (x - 1): получаем x^4 - x^3.
3. Вычитаем: (x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6) - (x^4 - x^3) = 6x^3 + 5x^2 - 5x - 6.
4. Делим 6x^3 на x: получаем 6x^2.
5. Умножаем 6x^2 на (x - 1): получаем 6x^3 - 6x^2.
6. Вычитаем: (6x^3 + 5x^2 - 5x - 6) - (6x^3 - 6x^2) = 11x^2 - 5x - 6.
7. Делим 11x^2 на x: получаем 11x.
8. Умножаем 11x на (x - 1): получаем 11x^2 - 11x.
9. Вычитаем: (11x^2 - 5x - 6) - (11x^2 - 11x) = 6x - 6.
10. Делим 6x на x: получаем 6.
11. Умножаем 6 на (x - 1): получаем 6x - 6.
12. Вычитаем: (6x - 6) - (6x - 6) = 0.

Таким образом, мы получили: x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = (x - 1)(x^3 + 6x^2 + 11x + 6).

Шаг 4: Решение кубического уравнения

Теперь решим кубическое уравнение x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0.

Попробуем снова подобрать корни:

• Подставим x = -1:

(-1)^3 + 6*(-1)^2 + 11*(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0 (корень)

Теперь делим x^3 + 6x^2 + 11x + 6 на (x + 1).

1. x^3 делим на x: получаем x^2.
2. Умножаем x^2 на (x + 1): получаем x^3 + x^2.
3. Вычитаем: (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) - (x^3 + x^2) = 5x^2 + 11x + 6.
4. Делим 5x^2 на x: получаем 5x.
5. Умножаем 5x на (x + 1): получаем 5x^2 + 5x.
6. Вычитаем: (5x^2 + 11x + 6) - (5x^2 + 5x) = 6.
7. Делим 6 на x: получаем 6.
8. Умножаем 6 на (x + 1): получаем 6x + 6.
9. Вычитаем: (6) - (6) = 0.

Таким образом, мы получили: x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6).

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь решим x^2 + 5x + 6 = 0. Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1.

Корни уравнения:

• x1 = (-5 + sqrt(1)) / 2 = -2
• x2 = (-5 - sqrt(1)) / 2 = -3

Таким образом, корни уравнения x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = 0: x = 1, x = -1, x = -2, x = -3.

В итоге, мы нашли все корни обоих уравнений:

• Для x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0: x = -1, x = 2, x = 3.
• Для x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = 0: x = 1, x = -1, x = -2, x = -3.