Как можно решить выражение 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2)?

Алгебра 9 класс Рационализация дробей решение выражения алгебра 9 класс дроби с корнями математические выражения упрощение дробей Новый

Для решения выражения 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) мы будем последовательно упрощать каждую дробь. Давайте начнем с первой дроби.

Шаг 1: Упрощение первой дроби

Рассмотрим первую дробь 1/(1+√2). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение (1-√2):

• 1/(1+√2) * (1-√2)/(1-√2) = (1-√2)/(1 - (√2)²) = (1-√2)/(1 - 2) = (1-√2)/(-1) = √2 - 1.

Шаг 2: Упрощение второй дроби

Теперь перейдем ко второй дроби 1/(√2+√3). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение (√2-√3):

• 1/(√2+√3) * (√2-√3)/(√2-√3) = (√2-√3)/( (√2)² - (√3)²) = (√2-√3)/(2 - 3) = (√2-√3)/(-1) = √3 - √2.

Шаг 3: Упрощение третьей дроби

Теперь у нас осталась третья дробь 1/(√3+2). Умножим её на сопряжённое выражение (√3-2):

• 1/(√3+2) * (√3-2)/(√3-2) = (√3-2)/( (√3)² - 2²) = (√3-2)/(3 - 4) = (√3-2)/(-1) = 2 - √3.

Шаг 4: Сложение всех упрощённых дробей

Теперь у нас есть:

• √2 - 1,
• √3 - √2,
• 2 - √3.

Теперь сложим все три выражения:

• (√2 - 1) + (√3 - √2) + (2 - √3).

Упрощаем это выражение:

• √2 - 1 + √3 - √2 + 2 - √3.

Теперь мы видим, что √2 и -√2 взаимно уничтожаются, а также √3 и -√3:

• -1 + 2 = 1.

Ответ:

Таким образом, итоговое значение выражения 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) равно 1.