Как можно упростить следующее выражение: (1 - sin^2 α) / (1 - cos^2 α) + tg α * ctg α ?

Алгебра 9 класс Тригонометрические выражения и их упрощение Упрощение выражения алгебра 9 класс тригонометрические функции sin cos tg ctg математические правила алгебраические выражения Новый

Чтобы упростить данное выражение, начнем с его разбиения на части и применения тригонометрических тождеств.

Выражение выглядит следующим образом:

(1 - sin² α) / (1 - cos² α) + tg α * ctg α

Шаг 1: Упростим первую часть выражения

Обратим внимание на первую часть:

(1 - sin² α) / (1 - cos² α)

Здесь мы можем использовать тригонометрическое тождество:

• 1 - sin² α = cos² α
• 1 - cos² α = sin² α

Таким образом, мы можем заменить части выражения:

(cos² α) / (sin² α) = cot² α

Шаг 2: Упростим вторую часть выражения

Теперь рассмотрим вторую часть:

tg α * ctg α

Также используем тригонометрические тождества:

• tg α = sin α / cos α
• ctg α = cos α / sin α

Поэтому:

tg α * ctg α = (sin α / cos α) * (cos α / sin α) = 1

Шаг 3: Объединим результаты

Теперь подставим результаты обратно в выражение:

cot² α + 1

Шаг 4: Применим еще одно тригонометрическое тождество

Мы знаем, что:

1 + cot² α = csc² α

Таким образом, мы можем записать:

cot² α + 1 = csc² α

Итак, окончательный ответ:

Упрощенное выражение равно csc² α.