Как найти cos(a+b) и sin(a-b), если sin(a) = 9/41, sin(b) = -40/41; при условии, что π/2 < a < π и 3π/2 < b < 2π?

Алгебра 9 класс Тригонометрические формулы для суммы и разности углов алгебра 9 класс тригонометрические функции cos(a+b) sin(a-b) sin(a) 9/41 sin(b) -40/41 угол A угол B решение тригонометрических задач формулы сложения углов Новый

Чтобы найти значения cos(a+b) и sin(a-b), нам нужно воспользоваться формулами для косинуса и синуса суммы и разности углов:

• cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)
• sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)

У нас уже есть значения sin(a) и sin(b), но нам также нужно найти cos(a) и cos(b).

1. Найдем cos(a):

Поскольку sin(a) = 9/41, можем использовать основное тригонометрическое тождество:

sin²(a) + cos²(a) = 1.

Подставим значение sin(a):

• sin²(a) = (9/41)² = 81/1681.
• cos²(a) = 1 - sin²(a) = 1 - 81/1681 = 1681/1681 - 81/1681 = 1600/1681.
• cos(a) = ±√(1600/1681) = ±40/41.

Так как угол a находится в диапазоне (π/2, π), cos(a) будет отрицательным:

cos(a) = -40/41.

2. Теперь найдем cos(b):

У нас sin(b) = -40/41. Используем то же тригонометрическое тождество:

• sin²(b) = (-40/41)² = 1600/1681.
• cos²(b) = 1 - sin²(b) = 1 - 1600/1681 = 81/1681.
• cos(b) = ±√(81/1681) = ±9/41.

Поскольку угол b находится в диапазоне (3π/2, 2π), cos(b) будет положительным:

cos(b) = 9/41.

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулы:

3. Находим cos(a + b):

• cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)
• cos(a + b) = (-40/41) * (9/41) - (9/41) * (-40/41)
• cos(a + b) = -360/1681 + 360/1681 = 0.

4. Теперь находим sin(a - b):

• sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)
• sin(a - b) = (9/41) * (9/41) - (-40/41) * (-40/41)
• sin(a - b) = 81/1681 - 1600/1681 = -1519/1681.

Ответ: cos(a + b) = 0 и sin(a - b) = -1519/1681.