2025-11-02 09:20:42
Как найти интеграл: ∫ (4x + 7)sin(x/8)dx?
Алгебра 9 класс Интегралы и интегрирование интеграл нахождение интеграла алгебра 9 класс ∫ (4x + 7)sin(x/8)dx методы интегрирования Новый
2025-11-02 09:20:54
Чтобы найти интеграл ∫ (4x + 7)sin(x/8)dx, мы будем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:
∫ u dv = uv - ∫ v du
Где:
- u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
- dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования.
Теперь давайте выберем:
- u = 4x + 7 (тогда du = 4 dx);
- dv = sin(x/8) dx (тогда v = -8cos(x/8), так как интеграл sin(x/8) равен -8cos(x/8)).
Теперь мы можем подставить эти значения в формулу интегрирования по частям:
- Сначала находим uv:
- Теперь находим ∫ v du:
uv = (4x + 7)(-8cos(x/8)) = -8(4x + 7)cos(x/8)
∫ v du = ∫ -8cos(x/8) * 4 dx = -32∫ cos(x/8) dx.
Интеграл cos(x/8) равен 8sin(x/8), поэтому:
∫ -32cos(x/8) dx = -32 * 8sin(x/8) = -256sin(x/8).
Теперь подставим все обратно в формулу:
∫ (4x + 7)sin(x/8)dx = -8(4x + 7)cos(x/8) + 256sin(x/8) + C,
где C - произвольная константа интегрирования.
Ответ: ∫ (4x + 7)sin(x/8)dx = -8(4x + 7)cos(x/8) + 256sin(x/8) + C.