Для решения уравнения |x - 1| + |x - 4| = 3cos(2πx) мы будем использовать метод разбиения на случаи, так как у нас есть абсолютные значения. Также учтем, что cos(2πx) колеблется между -1 и 1, следовательно, 3cos(2πx) будет принимать значения в диапазоне от -3 до 3.

Мы рассмотрим три случая в зависимости от значений x:

1. Случай 1: x < 1
2. Случай 2: 1 ≤ x < 4
3. Случай 3: x ≥ 4

В этом случае |x - 1| = 1 - x и |x - 4| = 4 - x. Подставляем в уравнение:

(1 - x) + (4 - x) = 3cos(2πx)

Упрощаем:

5 - 2x = 3cos(2πx)

Здесь |x - 1| = x - 1 и |x - 4| = 4 - x. Подставляем в уравнение:

(x - 1) + (4 - x) = 3cos(2πx)

Упрощаем:

3 = 3cos(2πx)

Следовательно, cos(2πx) = 1. Это происходит, когда 2πx = 2kπ, где k - целое число. Отсюда x = k.

Поскольку x должен находиться в диапазоне [1, 4), возможные значения k: 1, 2, 3.

В этом случае |x - 1| = x - 1 и |x - 4| = x - 4. Подставляем в уравнение:

(x - 1) + (x - 4) = 3cos(2πx)

Упрощаем:

2x - 5 = 3cos(2πx)

Теперь нужно проверить найденные решения в каждом случае:

• Для случая 1: x < 1, решаем уравнение 5 - 2x = 3cos(2πx) для x < 1. Это может дать дополнительные корни, которые нужно будет искать численно.
• Для случая 2: x = 1, 2, 3 - все эти значения подходят, так как они находятся в диапазоне [1, 4).
• Для случая 3: решаем уравнение 2x - 5 = 3cos(2πx) для x ≥ 4. Также может дать дополнительные корни, которые нужно будет искать численно.

Таким образом, основные корни, которые мы нашли:

• x = 1
• x = 2
• x = 3

Для случаев 1 и 3 может потребоваться численный анализ для нахождения дополнительных корней. Рекомендуется использовать графический калькулятор или компьютерные программы для более точного поиска.