Чтобы найти первообразную функцию для выражения f(x) = 1/(x/5 + 1) ^ 6, мы будем использовать метод подстановки. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Упростим выражение: Мы можем переписать функцию f(x) в более удобной форме:
• f(x) = (x/5 + 1)^(-6)
2. Выберем подстановку: Для упрощения интегрирования, давайте сделаем подстановку:
• Обозначим u = x/5 + 1.
• Тогда, производная u по x будет: du/dx = 1/5, или dx = 5 du.
3. Заменим переменные в интеграле: Теперь мы можем переписать интеграл:
• ∫ f(x) dx = ∫ (u^(-6)) * (5 du) = 5 ∫ u^(-6) du.
4. Интегрируем: Теперь мы можем интегрировать u^(-6):
• ∫ u^(-6) du = -1/5 * u^(-5) + C, где C - константа интегрирования.
• Следовательно, 5 ∫ u^(-6) du = 5 * (-1/5 * u^(-5)) + C = -u^(-5) + C.
5. Возвращаемся к переменной x: Подставляем обратно u = x/5 + 1:
• -u^(-5) + C = -((x/5 + 1)^(-5)) + C.

Таким образом, первообразная функция для f(x) = 1/(x/5 + 1)^6 будет:

F(x) = -((x/5 + 1)^(-5)) + C.