Как найти решение уравнения: 2 синус в четвёртой степени икс + 3 косинус двух икс + 1 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрического типа решение уравнения алгебра 9 класс синус и косинус тригонометрические уравнения уравнения с синусом уравнения с косинусом методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 2 sin^4(x) + 3 cos(2x) + 1 = 0, давайте разобьем его на несколько шагов.

1. Используем формулу для косинуса двойного угла:

   Косинус двойного угла можно выразить через синус: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Подставим это в уравнение:

   2 sin^4(x) + 3(1 - 2sin^2(x)) + 1 = 0.

2. Упрощаем уравнение:

   Раскроем скобки:

   2 sin^4(x) + 3 - 6sin^2(x) + 1 = 0.

   Соберем подобные слагаемые:

   2 sin^4(x) - 6sin^2(x) + 4 = 0.

3. Обозначим переменную:

   Пусть y = sin^2(x). Тогда уравнение примет вид:

   2y^2 - 6y + 4 = 0.

4. Решаем квадратное уравнение:

   Используем дискриминант:

   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*2*4 = 36 - 32 = 4.

   Теперь находим корни уравнения:

   • y1 = (6 + √D) / (2*2) = (6 + 2) / 4 = 8 / 4 = 2.
   • y2 = (6 - √D) / (2*2) = (6 - 2) / 4 = 4 / 4 = 1.
5. Возвращаемся к переменной sin^2(x):

   Мы получили два значения для y:

   • y1 = 2 (но sin^2(x) не может быть больше 1, поэтому это значение отбрасываем).
   • y2 = 1, следовательно, sin^2(x) = 1.
6. Находим x:

   Если sin^2(x) = 1, то sin(x) = ±1. Это происходит, когда:

   • x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 2 sin^4(x) + 3 cos(2x) + 1 = 0 имеет вид:

x = π/2 + kπ, k ∈ Z.