Как определить максимум функции f(x) = x^2 + 9 / x?

Алгебра 9 класс Поиск экстремумов функции определить максимум функции максимум функции алгебра f(x) = x^2 + 9 / x алгебра 9 класс нахождение максимума функции Новый

Чтобы определить максимум функции f(x) = x^2 + 9/x, нужно выполнить несколько шагов. Давайте подробно разберем этот процесс.

Шаг 1: Найти производную функции

Первым делом мы найдем производную функции f(x). Это поможет нам определить точки, в которых функция может иметь максимум или минимум.

Функция f(x) состоит из двух частей: x^2 и 9/x. Мы можем записать производную, используя правило дифференцирования:

• Производная x^2 равна 2x.
• Производная 9/x можно записать как 9 * x^(-1), и её производная равна -9 * x^(-2) = -9/(x^2).

Теперь мы можем записать полную производную:

f'(x) = 2x - 9/x^2.

Шаг 2: Найти критические точки

Теперь нам нужно найти критические точки, приравняв производную к нулю:

2x - 9/x^2 = 0.

Умножим обе стороны уравнения на x^2 (при условии, что x не равно 0):

2x^3 - 9 = 0.

Теперь решим это уравнение:

2x^3 = 9

x^3 = 9/2

x = (9/2)^(1/3).

Шаг 3: Определить, максимум это или минимум

Чтобы понять, является ли найденная точка максимумом или минимумом, мы можем использовать второй производный тест. Найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = 2 + 18/x^3.

Теперь подставим найденное значение x = (9/2)^(1/3) в f''(x):

f''((9/2)^(1/3)) = 2 + 18/((9/2)^(1/3))^3 = 2 + 18/(9/2) = 2 + 4 = 6.

Поскольку f''((9/2)^(1/3)) > 0, это означает, что в этой точке функция имеет минимум.

Шаг 4: Исследование границ

Теперь, чтобы найти максимум функции, нужно исследовать поведение функции на границах. Обратите внимание, что при x стремящемся к 0 (с положительной стороны) и при x стремящемся к бесконечности:

• При x → 0+, f(x) → ∞ (так как 9/x стремится к бесконечности).
• При x → ∞, f(x) → ∞ (так как x^2 доминирует над 9/x).

Таким образом, функция не имеет максимума на всей области определения, но имеет минимум в точке x = (9/2)^(1/3).

В заключение, функция f(x) = x^2 + 9/x не имеет максимума, но имеет минимум в точке x = (9/2)^(1/3).