Как определить наибольший член разложения бинома?

(√5 + √2) ^ {20}

Алгебра 9 класс Разложение бинома Ньютона наибольший член разложения бинома биномиальная теорема алгебра 9 класс разложение бинома свойства биномиальных коэффициентов Новый

Чтобы определить наибольший член разложения бинома (√5 + √2)^{20}, нам нужно воспользоваться формулой бинома Ньютона. Эта формула выглядит следующим образом:

(a + b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k)

где:

• C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!),
• a и b - члены бинома (в нашем случае a = √5, b = √2),
• n - степень, в которую возводится биномиальное выражение (в нашем случае n = 20),
• k - номер члена разложения, который меняется от 0 до n.

Теперь найдем общий член разложения:

C(20, k) * (√5)^(20-k) * (√2)^k

Это можно упростить до:

C(20, k) * (5^(10-k/2)) * (2^(k/2))

Теперь, чтобы найти наибольший член разложения, нам нужно определить, для какого значения k этот член будет максимальным. Для этого удобно использовать отношение смежных членов:

R(k) = (C(20, k+1) * (√5)^(20-(k+1)) * (√2)^(k+1)) / (C(20, k) * (√5)^(20-k) * (√2)^k)

Упрощая это отношение, мы можем выразить его так:

R(k) = (C(20, k+1) / C(20, k)) * (√5)^(20-(k+1)) / (√5)^(20-k) * (√2)^(k+1) / (√2)^k

Это упростится до:

R(k) = (20-k) / (k+1) * (√2 / √5)

Теперь мы можем определить, для какого значения k это отношение будет равно 1, что указывает на смену знака и, следовательно, на максимальный член:

(20-k) / (k+1) * (√2 / √5) = 1

Решим это уравнение:

(20-k) * √2 = (k+1) * √5

Раскроем скобки:

20√2 - k√2 = k√5 + √5

Соберем все k в одну сторону:

20√2 - √5 = k(√2 + √5)

Теперь выразим k:

k = (20√2 - √5) / (√2 + √5)

Теперь подставим k в формулу для нахождения наибольшего члена разложения. После нахождения k, мы можем подставить его значение обратно в общий член разложения, чтобы найти его величину.

Таким образом, наибольший член разложения бинома (√5 + √2)^{20} можно найти, следуя этим шагам и вычисляя значение k.