Как определить область определения и область значения функции: а) f(x)=x⁴-81/(x²-9) б) f(x)=x²-25/(x+5)?

Алгебра 9 класс Область определения и область значения функции область определения функции область значения функции f(x)=x⁴-81/(x²-9) f(x)=x²-25/(x+5) алгебра 9 класс функции в алгебре Новый

Чтобы определить область определения и область значения функции, нужно проанализировать выражения, которые мы имеем. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

а) f(x) = (x⁴ - 81) / (x² - 9)

• Область определения: Область определения функции - это множество всех значений x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, мы должны обратить внимание на знаменатель, так как деление на ноль недопустимо.
• Знаменатель равен нулю, когда x² - 9 = 0. Решим это уравнение:
1. x² = 9
2. x = ±3
• Таким образом, функция не определена при x = 3 и x = -3. Значит, область определения функции:
• x ∈ R, x ≠ 3, x ≠ -3

• Область значения: Теперь определим область значения. Для этого нужно понять, какие значения может принимать функция f(x).
• Функция является дробно-рациональной, и для анализа ее поведения можно использовать предельные значения и асимптоты:
1. При x → ∞ или x → -∞, f(x) будет стремиться к x², так как старший член в числителе и знаменателе будет определять поведение функции.
2. При x = 3 и x = -3 функция имеет разрывы, и нужно проверить значения функции в окрестностях этих точек.
• Таким образом, область значения функции f(x) будет включать все действительные числа, кроме тех, которые соответствуют разрывам.

б) f(x) = (x² - 25) / (x + 5)

• Область определения: Аналогично, проверим знаменатель:
• Знаменатель равен нулю, когда x + 5 = 0. Решим это уравнение:
1. x = -5
• Таким образом, функция не определена при x = -5. Значит, область определения функции:
• x ∈ R, x ≠ -5

• Область значения: Теперь определим область значения:
• Функция также является дробно-рациональной. При x → ∞ или x → -∞, f(x) будет стремиться к x, так как старший член в числителе и знаменателе определяет поведение функции.
• При x = -5 функция имеет разрыв, и мы можем проанализировать предельные значения:
1. При x → -5 с правой стороны, f(x) → 0.
2. При x → -5 с левой стороны, f(x) → 0.
• Таким образом, область значения функции f(x) будет включать все действительные числа, кроме значения, которое соответствует разрыву.

В итоге, мы получили области определения и значения для обеих функций:

• а) Область определения: x ∈ R, x ≠ 3, x ≠ -3
• б) Область определения: x ∈ R, x ≠ -5