Как определить расстояние между точками на графике функции f(x) = x^3 - 27x, если касательные к этому графику перпендикулярны оси Y?

Алгебра 9 класс Касательные и их свойства расстояние между точками график функции касательные перпендикулярно оси Y алгебра 9 класс Новый

Чтобы определить расстояние между точками на графике функции f(x) = x^3 - 27x, где касательные к графику перпендикулярны оси Y, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала вычислим производную функции f(x). Производная даст нам информацию о наклоне касательной к графику функции:

• f'(x) = 3x^2 - 27

Шаг 2: Определим условия для перпендикулярности касательной к оси Y

Касательная к графику функции будет перпендикулярна оси Y, если ее наклон равен бесконечности. Это происходит, когда производная функции равна нулю, так как в этом случае касательная горизонтальна:

• 3x^2 - 27 = 0

Шаг 3: Найдем значения x, при которых производная равна нулю

Решим уравнение:

• 3x^2 = 27
• x^2 = 9
• x = 3 или x = -3

Шаг 4: Найдем соответствующие значения функции f(x)

Теперь подставим найденные значения x в функцию f(x), чтобы найти соответствующие y-координаты:

• f(3) = 3^3 - 27*3 = 27 - 81 = -54
• f(-3) = (-3)^3 - 27*(-3) = -27 + 81 = 54

Шаг 5: Определим координаты точек

Таким образом, мы получили две точки:

• A(3, -54)
• B(-3, 54)

Шаг 6: Найдем расстояние между этими точками

Расстояние между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2) можно найти по формуле:

• расстояние = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Подставим наши значения:

• расстояние = √((-3 - 3)² + (54 - (-54))²)
• расстояние = √((-6)² + (54 + 54)²)
• расстояние = √(36 + 1089)
• расстояние = √(1125)
• расстояние = 15√5

Таким образом, расстояние между точками A и B на графике функции f(x) = x^3 - 27x, где касательные перпендикулярны оси Y, равно 15√5.