Для решения задачи оптимального распределения бюджета на оборудование и зарплату сотрудникам, мы будем использовать метод Лагранжа. Начнем с формулировки задачи и необходимых шагов.

У нас есть функция, описывающая прирост объёма продукции:

Q(x, y) = 0,1 * x^0,6 * y^0,4

Где:

• X – затраты на оборудование (в тыс. руб.)
• Y – затраты на зарплату (в тыс. руб.)

Также у нас есть ограничение по бюджету:

X + Y = 150

Мы вводим множитель Лагранжа (λ) и составляем функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = Q(x, y) + λ(150 - X - Y)

Подставляем функцию Q:

L(x, y, λ) = 0,1 * x^0,6 * y^0,4 + λ(150 - X - Y)

Теперь найдем частные производные по X, Y и λ, и приравняем их к нулю:

• ∂L/∂X = 0,1 * 0,6 * x^(-0,4) * y^0,4 - λ = 0
• ∂L/∂Y = 0,1 * 0,4 * x^0,6 * y^(-0,6) - λ = 0
• ∂L/∂λ = 150 - X - Y = 0

Решим систему уравнений:

1. Из первых двух уравнений выразим λ:
• λ = 0,1 * 0,6 * x^(-0,4) * y^0,4
• λ = 0,1 * 0,4 * x^0,6 * y^(-0,6)
2. Приравняем их:

0,1 * 0,6 * x^(-0,4) * y^0,4 = 0,1 * 0,4 * x^0,6 * y^(-0,6)

3. Упростим это уравнение:

0,6 * y^0,4 = 0,4 * x^(1) * y^(-0,6)

4. Перепишем и упростим:

0,6 * y^1 = 0,4 * x

5. Таким образом, получаем:

y = (0,4 / 0,6) * x = (2/3) * x

6. Теперь подставим y в ограничение бюджета:

X + (2/3) * X = 150

(5/3) * X = 150

7. Отсюда находим X:

X = 150 * (3/5) = 90

8. Теперь найдем Y:

Y = (2/3) * 90 = 60

Таким образом, оптимальное распределение бюджета составляет:

• На оборудование (X): 90 тыс. руб.
• На зарплату (Y): 60 тыс. руб.

Это распределение позволит достичь максимального прироста объёма продукции согласно заданной функции.