Как предпринимателю оптимально распределить 150 тыс. руб. на покупку нового оборудования (Х тыс. руб.) и зарплату новым сотрудникам (У тыс. руб.), чтобы достичь максимального прироста объёма продукции, который определяется функцией Q(x,y) = 0,1x^0,6y^0,4?

Алгебра 9 класс Оптимизация ресурсов алгебра 9 класс оптимальное распределение средств функция Q(x,y) прирост объёма продукции покупка оборудования зарплата сотрудникам задачи по алгебре оптимизация ресурсов математическое моделирование предпринимательская деятельность Новый

Для решения задачи оптимального распределения бюджета на оборудование и зарплату сотрудникам, мы будем использовать метод Лагранжа. Начнем с формулировки задачи и необходимых шагов.

Шаг 1: Определение функции и ограничений

У нас есть функция, описывающая прирост объёма продукции:

Q(x, y) = 0,1 * x^0,6 * y^0,4

Где:

• X – затраты на оборудование (в тыс. руб.)
• Y – затраты на зарплату (в тыс. руб.)

Также у нас есть ограничение по бюджету:

X + Y = 150

Шаг 2: Составление функции Лагранжа

Мы вводим множитель Лагранжа (λ) и составляем функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = Q(x, y) + λ(150 - X - Y)

Подставляем функцию Q:

L(x, y, λ) = 0,1 * x^0,6 * y^0,4 + λ(150 - X - Y)

Шаг 3: Нахождение частных производных

Теперь найдем частные производные по X, Y и λ, и приравняем их к нулю:

• ∂L/∂X = 0,1 * 0,6 * x^(-0,4) * y^0,4 - λ = 0
• ∂L/∂Y = 0,1 * 0,4 * x^0,6 * y^(-0,6) - λ = 0
• ∂L/∂λ = 150 - X - Y = 0

Шаг 4: Решение системы уравнений

Решим систему уравнений:

1. Из первых двух уравнений выразим λ:
• λ = 0,1 * 0,6 * x^(-0,4) * y^0,4
• λ = 0,1 * 0,4 * x^0,6 * y^(-0,6)
2. Приравняем их:

0,1 * 0,6 * x^(-0,4) * y^0,4 = 0,1 * 0,4 * x^0,6 * y^(-0,6)

3. Упростим это уравнение:

0,6 * y^0,4 = 0,4 * x^(1) * y^(-0,6)

4. Перепишем и упростим:

0,6 * y^1 = 0,4 * x

5. Таким образом, получаем:

y = (0,4 / 0,6) * x = (2/3) * x

6. Теперь подставим y в ограничение бюджета:

X + (2/3) * X = 150

(5/3) * X = 150

7. Отсюда находим X:

X = 150 * (3/5) = 90

8. Теперь найдем Y:

Y = (2/3) * 90 = 60

Шаг 5: Ответ

Таким образом, оптимальное распределение бюджета составляет:

• На оборудование (X): 90 тыс. руб.
• На зарплату (Y): 60 тыс. руб.

Это распределение позволит достичь максимального прироста объёма продукции согласно заданной функции.