Как представить многочлен x^4-4x^2-x+2 в виде произведения многочлена первой степени на многочлен третьей степени и как доказать тождество (a^3-8b^3)/a-2b+2ab=(a+b)^2+b(3b+3a)-ab?

Алгебра 9 класс Разложение многочленов и тождества многочлен произведение многочлена алгебра 9 класс тождество доказательство тождества алгебраические выражения факторизация многочлена Новый

Давайте начнем с первой части вашего вопроса: представления многочлена x^4 - 4x^2 - x + 2 в виде произведения многочлена первой степени на многочлен третьей степени.

1. Для начала, мы можем попробовать найти корни многочлена x^4 - 4x^2 - x + 2. Это можно сделать, подставляя различные значения x и проверяя, при каких значениях многочлен равен нулю.

2. После проверки, мы находим, что x = 2 является корнем, так как:

• Подставим x = 2: 2^4 - 4*2^2 - 2 + 2 = 16 - 16 - 2 + 2 = 0.

3. Теперь, зная, что x - 2 является множителем, мы можем использовать деление многочленов для нахождения второго множителя. Мы делим x^4 - 4x^2 - x + 2 на (x - 2).

4. Выполним деление:

• x^4 делим на x: получаем x^3.
• Умножаем x^3 на (x - 2): получаем x^4 - 2x^3.
• Вычитаем: (x^4 - 4x^2 - x + 2) - (x^4 - 2x^3) = 2x^3 - 4x^2 - x + 2.
• Теперь делим 2x^3 на x: получаем 2x^2.
• Умножаем 2x^2 на (x - 2): получаем 2x^3 - 4x^2.
• Вычитаем: (2x^3 - 4x^2 - x + 2) - (2x^3 - 4x^2) = -x + 2.
• Теперь делим -x на x: получаем -1.
• Умножаем -1 на (x - 2): получаем -x + 2.
• Вычитаем: (-x + 2) - (-x + 2) = 0.

5. Таким образом, мы получаем, что:

x^4 - 4x^2 - x + 2 = (x - 2)(x^3 + 2x^2 - 1).

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса: доказательство тождества (a^3 - 8b^3)/(a - 2b) + 2ab = (a + b)^2 + b(3b + 3a) - ab.

1. Начнем с левой части тождества:

(a^3 - 8b^3)/(a - 2b) + 2ab

2. Заметим, что a^3 - 8b^3 можно разложить как разность кубов:

a^3 - (2b)^3 = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)

3. Подставим это в первую часть:

(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)/(a - 2b) + 2ab = a^2 + 2ab + 4b^2 + 2ab

4. Упрощаем:

a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 4ab + 4b^2

5. Теперь перейдем к правой части тождества:

(a + b)^2 + b(3b + 3a) - ab

6. Раскроем скобки:

(a^2 + 2ab + b^2) + (3ab + 3b^2) - ab

7. Упрощаем:

a^2 + 2ab + b^2 + 3ab + 3b^2 - ab = a^2 + 4ab + 4b^2

8. Таким образом, обе части равны, и мы доказали тождество.

Итак, мы представили многочлен в нужном виде и доказали тождество!