Чтобы решить неравенство ((-x)^(3/2) - 1) >= (x + 1)^(2/3), следуем следующим шагам:

1. Определим область определения.
   • Для выражения (-x)^(3/2) необходимо, чтобы -x >= 0, то есть x <= 0.
   • Для выражения (x + 1)^(2/3) необходимо, чтобы x + 1 >= 0, то есть x >= -1.

   Таким образом, область определения неравенства: -1 <= x <= 0.

2. Перепишем неравенство с учетом области определения.

   Теперь мы можем записать неравенство в виде:

   -(-x)^(3/2) + 1 + (x + 1)^(2/3) >= 0
3. Рассмотрим границы области определения.
   • Подставим x = -1:

   (-(-(-1))^(3/2) - 1) >= ((-1 + 1)^(2/3))

   0 >= 0, это верно.

   • Подставим x = 0:

   ((-0)^(3/2) - 1) >= (0 + 1)^(2/3)

   -1 >= 1, это неверно.

4. Исследуем промежуток (-1, 0).

   Поскольку неравенство может изменять знак внутри промежутка, нужно проверить его на нескольких значениях, например, x = -0.5:

   ((-(-0.5))^(3/2) - 1) >= ((-0.5 + 1)^(2/3))

   ((-0.5)^(3/2) - 1) >= (0.5^(2/3))

   Вычисляем:

   (-0.35355 - 1) >= 0.7937, это неверно.

   Теперь попробуем x = -0.1:

   ((-(-0.1))^(3/2) - 1) >= ((-0.1 + 1)^(2/3))

   (-0.31623 - 1) >= 0.973, это неверно.

   Таким образом, на промежутке (-1, 0) функция не выполняет неравенство.

5. Вывод.

   Неравенство выполняется только в точке x = -1, и не выполняется на промежутке (-1, 0).

   Ответ: x = -1.