Для решения неравенства X³ - (7 + X)³ > -21X² - 490, давайте сначала упростим выражение с левой стороны.

Шаг 1: Раскроем скобки.

Сначала найдем (7 + X)³:

• (7 + X)³ = (7 + X)(7 + X)(7 + X)
• Сначала найдем (7 + X)(7 + X) = 49 + 14X + X²
• Теперь умножим это выражение на (7 + X):
• (49 + 14X + X²)(7 + X) = 49*7 + 49X + 14X*7 + 14X² + X²*7 + X³ = 343 + 49X + 98X + 14X² + 7X² + X³
• Соберем все слагаемые: 343 + 147X + 21X² + X³

Таким образом, (7 + X)³ = X³ + 21X² + 147X + 343.

Шаг 2: Подставим это выражение в неравенство.

Теперь у нас есть:

X³ - (X³ + 21X² + 147X + 343) > -21X² - 490.

Упрощаем это:

X³ - X³ - 21X² - 147X - 343 > -21X² - 490.

Это приводит к:

-21X² - 147X - 343 > -21X² - 490.

Шаг 3: Упростим неравенство.

Добавим 21X² к обеим сторонам:

-147X - 343 > -490.

Шаг 4: Переносим -343 на правую сторону.

-147X > -490 + 343.

-147X > -147.

Шаг 5: Делим обе стороны на -147.

При делении на отрицательное число неравенство меняет знак:

X < 1.

Таким образом, решением неравенства является:

X < 1.

Шаг 6: Проверка.

Мы можем проверить, подставив значение X = 0 (которое меньше 1) в исходное неравенство:

0³ - (7 + 0)³ > -21*0² - 490.

0 - 343 > -490, что верно.

Теперь проверим значение X = 2 (которое больше 1):

2³ - (7 + 2)³ > -21*2² - 490.

8 - 729 > -84 - 490, что не верно.

Таким образом, окончательный ответ:

X < 1.