Как решить следующие уравнения?

1. √x ≤ 2x
2. √x > 0.5x
3. √x ≥ 2x - 1
4. √x < x²

Алгебра 9 класс Неравенства с корнями и квадратами решение уравнений алгебра 9 класс неравенства с корнями уравнения с корнями алгебраические уравнения Новый

Для решения неравенств с корнями, таких как √x, важно помнить, что корень из переменной определен только для неотрицательных значений переменной. Поэтому вначале мы должны учитывать область определения каждого из неравенств, а затем решать их по отдельности.

1. Неравенство: √x ≤ 2x

Шаги решения:

1. Сначала найдем область определения: √x определен для x ≥ 0.
2. Переносим все в одну сторону: √x - 2x ≤ 0.
3. Теперь найдем точки, где выражение равно нулю: √x = 2x.
4. Квадратируем обе стороны: x = 4x².
5. Переносим все в одну сторону: 4x² - x = 0.
6. Факторизуем: x(4x - 1) = 0. Таким образом, x = 0 или 4x - 1 = 0, что дает x = 0.25.
7. Теперь определим знаки на промежутках: проверим промежутки (-∞, 0), (0, 0.25), (0.25, ∞).
8. На промежутке (0, 0.25) подставим, например, x = 0.1: √0.1 < 2*0.1. Это верно.
9. На промежутке (0.25, ∞) подставим x = 1: √1 > 2*1. Это неверно.

Ответ: x ∈ [0, 0.25].

2. Неравенство: √x > 0.5x

Шаги решения:

1. Область определения: x ≥ 0.
2. Переносим все в одну сторону: √x - 0.5x > 0.
3. Квадратируем обе стороны: x > (0.5x)² = 0.25x².
4. Переносим: 0.25x² + x > 0.
5. Факторизуем: x(0.25x + 1) > 0.
6. Находим, что x > 0, так как 0.25x + 1 всегда положительно.

Ответ: x ∈ (0, ∞).

3. Неравенство: √x ≥ 2x - 1

Шаги решения:

1. Область определения: x ≥ 0.
2. Переносим: √x - 2x + 1 ≥ 0.
3. Квадратируем: x ≥ (2x - 1)² = 4x² - 4x + 1.
4. Переносим: 4x² - 5x + 1 ≤ 0.
5. Находим корни уравнения 4x² - 5x + 1 = 0 с помощью дискриминанта: D = 25 - 16 = 9, корни: x1 = 1, x2 = 0.25.
6. Решаем неравенство: 4(x - 0.25)(x - 1) ≤ 0.
7. Проверяем знаки на промежутках: (-∞, 0.25), (0.25, 1), (1, ∞).

Ответ: x ∈ [0.25, 1].

4. Неравенство: √x < x²

Шаги решения:

1. Область определения: x ≥ 0.
2. Переносим: √x - x² < 0.
3. Квадратируем: x < x^4.
4. Переносим: x^4 - x > 0.
5. Факторизуем: x(x^3 - 1) > 0, что дает x(x - 1)(x^2 + x + 1) > 0.
6. Решаем: x^2 + x + 1 всегда положительно, поэтому решаем x(x - 1) > 0.
7. Находим промежутки: (-∞, 0), (0, 1), (1, ∞).

Ответ: x ∈ (1, ∞).

Таким образом, мы получили решения для всех четырех неравенств.