Как решить следующую систему уравнений:

1. x^2 - y^2 = 5
2. 2x + y = 4

При этом, не выполняя построения, как найти координаты точек пересечения параболы y = -x^2 + 6 и прямой y = -2x - 2?

Алгебра 9 класс Системы уравнений и их графическое представление система уравнений решить систему координаты точек пересечения парабола прямая алгебра 9 класс Новый

Чтобы решить систему уравнений, давайте сначала запишем их:

• x² - y² = 5
• 2x + y = 4

Первым шагом мы можем выразить y из второго уравнения:

y = 4 - 2x

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

• x² - (4 - 2x)² = 5

Теперь раскроем скобки:

• x² - (16 - 16x + 4x²) = 5

Упрощаем уравнение:

• x² - 16 + 16x - 4x² = 5
• -3x² + 16x - 16 = 5

Переносим 5 на левую сторону:

• -3x² + 16x - 21 = 0

Умножим уравнение на -1 для удобства:

• 3x² - 16x + 21 = 0

Теперь мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:

• D = b² - 4ac = (-16)² - 4 * 3 * 21
• D = 256 - 252 = 4

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Теперь находим корни:

• x1 = (16 + √4) / (2 * 3) = (16 + 2) / 6 = 18 / 6 = 3
• x2 = (16 - √4) / (2 * 3) = (16 - 2) / 6 = 14 / 6 = 7/3

Теперь подставляем найденные значения x обратно в уравнение для y:

• Для x1 = 3: y = 4 - 2 * 3 = 4 - 6 = -2
• Для x2 = 7/3: y = 4 - 2 * (7/3) = 4 - 14/3 = 12/3 - 14/3 = -2/3

Таким образом, мы получили координаты точек пересечения:

• (3, -2)
• (7/3, -2/3)

Теперь давайте найдем координаты точек пересечения параболы y = -x² + 6 и прямой y = -2x - 2. Для этого также выразим y:

Сравниваем уравнения:

• -x² + 6 = -2x - 2

Переносим все на одну сторону:

• -x² + 2x + 6 + 2 = 0
• -x² + 2x + 8 = 0

Умножаем на -1:

• x² - 2x - 8 = 0

Находим дискриминант:

• D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

Корни уравнения:

• x1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4
• x2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь подставим обратно для нахождения y:

• Для x1 = 4: y = -2 * 4 - 2 = -8 - 2 = -10
• Для x2 = -2: y = -2 * (-2) - 2 = 4 - 2 = 2

Таким образом, координаты точек пересечения:

• (4, -10)
• (-2, 2)