Для решения совокупности неравенств необходимо решить каждое из них отдельно, а затем найти пересечение их решений. Начнем с первого неравенства.

(х + 1/3) - (х/4) > 0

Сначала упростим неравенство. Для этого сначала приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей 1 и 4 — это 12. Приведем дроби к этому знаменателю:

• х = (12х)/12
• 1/3 = (4)/12

Теперь подставим в неравенство:

(12х/12 + 4/12) - (3х/12) > 0

Объединим дроби:

(12х + 4 - 3х)/12 > 0

Упрощаем числитель:

(9х + 4)/12 > 0

Теперь, для того чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы числитель был больше нуля:

9х + 4 > 0

Решим это неравенство:

• 9х > -4
• х > -4/9

Таким образом, первое неравенство имеет решение: х > -4/9.

(х + 3)(х - 4) ≤ х²

Раскроем скобки в левой части:

х² - 4х + 3х - 12 ≤ х²

Упрощаем:

х² - х - 12 ≤ х²

Теперь вычтем х² из обеих сторон:

-х - 12 ≤ 0

Перепишем неравенство:

-х ≤ 12

Умножим обе стороны на -1 (не забываем сменить знак неравенства):

х ≥ -12.

Таким образом, второе неравенство имеет решение: х ≥ -12.

Теперь у нас есть два решения:

• Первое неравенство: х > -4/9
• Второе неравенство: х ≥ -12

Чтобы найти общее решение, необходимо взять пересечение этих двух множеств. Поскольку -4/9 больше, чем -12, то пересечение будет:

х > -4/9.

Решение совокупности неравенств: х > -4/9.

Давайте решим данную совокупность неравенств шаг за шагом.

Рассмотрим первое неравенство: (х + 1/3) - (х/4) > 0.

1. Приведем подобные слагаемые. Для этого сначала умножим все части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей:
• 12 * (х + 1/3) - 12 * (х/4) > 0
• 12х + 4 - 3х > 0
2. Теперь упростим:
• (12х - 3х) + 4 > 0
• 9х + 4 > 0
3. Теперь решим неравенство 9х + 4 > 0:
• 9х > -4
• х > -4/9.

Теперь перейдем ко второму неравенству: (х + 3)(х - 4) ≤ х².

1. Раскроем скобки:
• х² - 4х + 3х - 12 ≤ х².
• Упростим:
• -х - 12 ≤ 0.
2. Теперь решим неравенство -х - 12 ≤ 0:
• -х ≤ 12
• х ≥ -12.

Теперь у нас есть два условия:

• х > -4/9
• х ≥ -12.

Чтобы найти общее решение, нам нужно взять пересечение этих двух условий:

Поскольку -4/9 больше, чем -12, то объединяя их, мы получаем:

• х > -4/9.

Таким образом, решением данной совокупности неравенств будет: