Как решить уравнение: 2(х^2 + 1/х^2) - 3(х + 1/х) = 1?

Алгебра 9 класс Уравнения с дробно-рациональными выражениями решение уравнения алгебра 9 класс Квадратные уравнения уравнения с дробями методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 2(х^2 + 1/х^2) - 3(х + 1/х) = 1, давайте сначала упростим его, введя новую переменную. Обозначим:

y = х + 1/х

Теперь найдем выражение для х^2 + 1/х^2 через y. Используем следующее равенство:

х^2 + 1/х^2 = (х + 1/х)^2 - 2

Подставим это в наше уравнение:

• 2(х^2 + 1/х^2) = 2((х + 1/х)^2 - 2) = 2(y^2 - 2) = 2y^2 - 4

Теперь подставим это в уравнение:

2y^2 - 4 - 3y = 1

Соберем все члены в одну сторону:

2y^2 - 3y - 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -3, c = -5.
• D = (-3)^2 - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

• y1 = (-b + √D) / (2a) = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 2.5
• y2 = (-b - √D) / (2a) = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1

Теперь у нас есть два значения для y:

• y1 = 2.5
• y2 = -1

Теперь вернемся к определению y:

• y = х + 1/х

Решим первое уравнение:

х + 1/х = 2.5

Умножим обе стороны на х:

х^2 - 2.5х + 1 = 0

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

• D = (-2.5)^2 - 4 * 1 * 1 = 6.25 - 4 = 2.25.

Так как D > 0, у этого уравнения также два корня:

• х1 = (2.5 + √2.25) / 2 = (2.5 + 1.5) / 2 = 4 / 2 = 2
• х2 = (2.5 - √2.25) / 2 = (2.5 - 1.5) / 2 = 1 / 2 = 0.5

Теперь решим второе уравнение:

х + 1/х = -1

Умножим обе стороны на х:

х^2 + 1 = -х

Перепишем уравнение:

х^2 + х + 1 = 0

Теперь найдем дискриминант:

• D = 1^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3.

Так как D < 0, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, у нас есть только два действительных решения из первого уравнения:

• х1 = 2
• х2 = 0.5

Ответ: х = 2 и х = 0.5.