Как решить уравнение, используя введение новой переменной: (2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0?

Алгебра 9 класс Решение уравнений с введением новой переменной решение уравнения введение новой переменной алгебра 9 класс Квадратные уравнения методы решения математические задачи уравнения с переменными алгебраические выражения примеры решений учебные материалы по алгебре Новый

Давайте решим уравнение (2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0 с помощью введения новой переменной.

Сначала мы заметим, что выражения 2x^2 + x повторяются в обоих множителях. Поэтому введем новую переменную:

y = 2x^2 + x

Теперь перепишем уравнение, подставив новое значение:

(y - 1)(y - 4) + 2 = 0

Раскроем скобки:

1. y^2 - 4y - y + 4 + 2 = 0
2. y^2 - 5y + 6 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Найдем его дискриминант (D):

D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Находим их:

1. y1 = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2
2. y2 = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3

Теперь вернемся к нашей новой переменной y и подставим найденные значения:

Для y1 = 2:

1. 2x^2 + x = 2
2. 2x^2 + x - 2 = 0

Находим его дискриминант:

D = 1^2 - 4 * 2 * (-2) = 1 + 16 = 17

Теперь находим корни:

1. x1 = (-1 - √17) / (2 * 2) = (-1 - √17) / 4
2. x2 = (-1 + √17) / (2 * 2) = (-1 + √17) / 4

Теперь решим для y2 = 3:

1. 2x^2 + x = 3
2. 2x^2 + x - 3 = 0

Находим дискриминант:

D = 1^2 - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25

Находим корни:

1. x3 = (-1 - 5) / (2 * 2) = -6 / 4 = -1.5
2. x4 = (-1 + 5) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1

Таким образом, у нас есть четыре корня уравнения:

• x1 = (-1 - √17) / 4
• x2 = (-1 + √17) / 4
• x3 = -1.5
• x4 = 1

Эти значения являются решениями исходного уравнения.