Как решить уравнение x^5 - x^4 - x + 1 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения степени выше второй решение уравнения алгебра 9 класс уравнение X^5 корни уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение x^5 - x^4 - x + 1 = 0, мы можем воспользоваться несколькими методами. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти корни этого уравнения.

1. Проверим возможные рациональные корни:

• Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни могут быть дробями, где числитель - делители свободного члена (в нашем случае 1), а знаменатель - делители старшего коэффициента (в данном случае 1).
• Таким образом, возможные рациональные корни: ±1.

2. Подставим возможные корни в уравнение:

• Подставим x = 1:
• x^5 - x^4 - x + 1 = 1^5 - 1^4 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0.
• Таким образом, x = 1 является корнем уравнения.
• Подставим x = -1:
• x^5 - x^4 - x + 1 = (-1)^5 - (-1)^4 - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0.
• Таким образом, x = -1 также является корнем уравнения.

3. Разложим уравнение на множители:

• Мы знаем, что (x - 1) и (x + 1) являются корнями. Теперь мы можем использовать деление многочлена для нахождения других корней.
• Сначала разделим x^5 - x^4 - x + 1 на (x - 1) с помощью деления многочленов.

Результат деления:

• После деления мы получим x^4 + 0x^3 - x^2 - 1.

4. Теперь делим x^4 - x^2 - 1 на (x + 1):

• После деления мы получаем x^3 - x^2 + x - 1.

5. Теперь мы можем решить кубическое уравнение:

• Используя метод подбора или другие методы, мы можем найти корни кубического уравнения.
• Проверим x = 1:
• x^3 - x^2 + x - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0.
• Таким образом, x = 1 является корнем.

6. Теперь можно использовать деление многочлена снова:

• Разделим x^3 - x^2 + x - 1 на (x - 1).
• Получаем x^2 + 1.

7. Решим уравнение x^2 + 1 = 0:

• Это уравнение имеет комплексные корни: x = i и x = -i.

Таким образом, все корни уравнения x^5 - x^4 - x + 1 = 0:

• x = 1,
• x = -1,
• x = i,
• x = -i.

Итак, мы нашли все корни уравнения!