Как упростить выражение Sin³a (1+ctga) + cos³a (1+tga)? Пожалуйста, объясните процесс упрощения. Также, как найти значение sin 75° и tg 75°? Очень нужно, дам 60 баллов!

Алгебра 9 класс Упрощение тригонометрических выражений и нахождение значений тригонометрических функций Упрощение выражения алгебра 9 класс Sin³a cos³a ctga tga значение sin 75° значение tg 75° процесс упрощения Новый

Ответ:

1) Начнем с упрощения выражения Sin³a (1 + ctga) + cos³a (1 + tga). Для этого воспользуемся определениями котангенса и тангенса:

• ctga = cos(a) / sin(a)
• tga = sin(a) / cos(a)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

Sin³a (1 + cos(a) / sin(a)) + cos³a (1 + sin(a) / cos(a))

Упростим каждую часть по отдельности:

• Sin³a (1 + cos(a) / sin(a)) = Sin³a * (sin(a) + cos(a)) / sin(a) = Sin²a * (sin(a) + cos(a))
• cos³a (1 + sin(a) / cos(a)) = cos³a * (cos(a) + sin(a)) / cos(a) = cos²a * (sin(a) + cos(a))

Теперь объединим обе части:

Sin²a * (sin(a) + cos(a)) + cos²a * (sin(a) + cos(a)) = (sin(a) + cos(a))(Sin²a + cos²a)

По известной тригонометрической формуле sin²a + cos²a = 1, мы можем упростить это выражение:

(sin(a) + cos(a))(1) = sin(a) + cos(a)

Таким образом, мы получили окончательный результат:

Ответ: sin(a) + cos(a)

2) Теперь найдем значения тригонометрических функций для угла 75°. Мы можем использовать формулы для суммы углов:

a) Для sin(75°) = sin(45° + 30°):

• sin(75°) = sin(45°) * cos(30°) + cos(45°) * sin(30°
• sin(45°) = sqrt(2)/2, cos(30°) = sqrt(3)/2, cos(45°) = sqrt(2)/2, sin(30°) = 1/2

Подставляем значения:

sin(75°) = (sqrt(2)/2) * (sqrt(3)/2) + (sqrt(2)/2) * (1/2)

Это дает:

sin(75°) = (sqrt(2)/4)(sqrt(3) + 1) = (sqrt(3) + 1) / (2sqrt(2)) = (sqrt(6) + sqrt(2)) / 4

Ответ: sin(75°) = (sqrt(6) + sqrt(2)) / 4

b) Теперь найдем tg(75°) = tg(45° + 30°):

tg(75°) = (tg(45°) + tg(30°)) / (1 - tg(45°) * tg(30°)

• tg(45°) = 1, tg(30°) = 1/sqrt(3)

Подставляем значения:

tg(75°) = (1 + 1/sqrt(3)) / (1 - 1 * 1/sqrt(3))

Упрощаем:

tg(75°) = (sqrt(3) + 1) / (sqrt(3) - 1)

Умножим числитель и знаменатель на (sqrt(3) + 1):

tg(75°) = (3 + 2sqrt(3) + 1) / (3 - 1) = (4 + 2sqrt(3)) / 2 = 2 + sqrt(3)

Ответ: tg(75°) = 2 + sqrt(3)