Для нахождения максимального значения функции f(x) = x⁴ - 2x² + 4 на заданном интервале от -2 до 2, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

   Сначала найдем производную функции f(x),чтобы определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.

   f'(x) = 4x³ - 4x.

2. Приравнять производную к нулю:

   Решим уравнение f'(x) = 0:

   4x³ - 4x = 0

   4x(x² - 1) = 0

   Это уравнение имеет следующие корни:

   • x = 0,
   • x² - 1 = 0 → x = 1, x = -1.
3. Определить критические точки:

   Таким образом, критические точки функции на интервале [-2, 2] это x = -1, 0, 1.

4. Проверить значения функции в критических точках и на границах интервала:

   Теперь вычислим значение функции f(x) в критических точках и на границах интервала:

   • f(-2) = (-2)⁴ - 2(-2)² + 4 = 16 - 8 + 4 = 12,
   • f(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² + 4 = 1 - 2 + 4 = 3,
   • f(0) = 0⁴ - 2(0)² + 4 = 0 - 0 + 4 = 4,
   • f(1) = 1⁴ - 2(1)² + 4 = 1 - 2 + 4 = 3,
   • f(2) = 2⁴ - 2(2)² + 4 = 16 - 8 + 4 = 12.
5. Сравнить значения:

   Теперь сравним все полученные значения:

   • f(-2) = 12,
   • f(-1) = 3,
   • f(0) = 4,
   • f(1) = 3,
   • f(2) = 12.

Максимальное значение функции f(x) на интервале от -2 до 2 равно 12. Это значение достигается в точках x = -2 и x = 2.