Какое наименьшее значение имеет выражение (3x^2+2)^2+(y^2-6)^2+19?

Алгебра 9 класс Оптимизация выражений наименьшее значение выражение алгебра 9 класс 3x^2+2 y^2-6 математическая задача Новый

Чтобы найти наименьшее значение выражения (3x^2 + 2)^2 + (y^2 - 6)^2 + 19, давайте разберем его по частям.

Шаг 1: Анализ первого слагаемого (3x^2 + 2)^2

Выражение (3x^2 + 2)^2 является квадратом, и квадрат любого числа всегда неотрицателен. Таким образом, наименьшее значение этого выражения будет равно 0, когда 3x^2 + 2 = 0.

Решим уравнение:

• 3x^2 + 2 = 0
• 3x^2 = -2

Однако, так как 3x^2 не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений. Следовательно, (3x^2 + 2) всегда будет больше 0.

Минимальное значение (3x^2 + 2) будет достигнуто, когда x = 0:

• (3 * 0^2 + 2) = 2

Таким образом, (3x^2 + 2)^2 = 2^2 = 4.

Шаг 2: Анализ второго слагаемого (y^2 - 6)^2

Аналогично, (y^2 - 6)^2 также является квадратом и, следовательно, неотрицательно. Наименьшее значение этого выражения будет равно 0, когда y^2 - 6 = 0.

Решим уравнение:

• y^2 - 6 = 0
• y^2 = 6
• y = ±√6

Таким образом, (y^2 - 6)^2 = 0, когда y = √6 или y = -√6.

Шаг 3: Объединение результатов

Теперь мы можем подставить минимальные значения в исходное выражение:

• Минимальное значение (3x^2 + 2)^2 = 4
• Минимальное значение (y^2 - 6)^2 = 0

Теперь подставим эти значения в общее выражение:

• (3x^2 + 2)^2 + (y^2 - 6)^2 + 19 = 4 + 0 + 19 = 23.

Ответ:

Наименьшее значение выражения (3x^2 + 2)^2 + (y^2 - 6)^2 + 19 равно 23.