2025-02-13 23:08:47
Какое соотношение сторон прямоугольного треугольного участка земли нужно для того, чтобы максимизировать его площадь, если он ограждён с трёх сторон при заданном количестве p (периметр) погонных метров изгороди, а четвёртая сторона уже ограждена?
Алгебра 9 класс Оптимизация площади фигур прямоугольный треугольник максимизация площади периметр ограждение алгебра 9 класс задачи на оптимизацию
2025-02-13 23:08:55
Чтобы максимизировать площадь прямоугольного треугольного участка земли, который ограждён с трёх сторон, нам нужно рассмотреть, как связаны между собой длины сторон и периметр.
Обозначим:
- x - длина одной стороны (вдоль уже ограждённой стороны);
- y - длина другой стороны (перпендикулярно к ограждённой стороне).
Поскольку участок земли ограждён с трёх сторон, периметр будет равен:
P = x + 2y.
Мы знаем, что P = p (заданное количество погонных метров изгороди). Таким образом, мы можем выразить y через x:
y = (p - x) / 2.
Теперь мы можем выразить площадь S участка:
S = x * y.
Подставив y, получаем:
S = x * (p - x) / 2.
Теперь упростим это выражение:
S = (p * x - x^2) / 2.
Чтобы найти максимум площади, нам нужно найти производную S по x и приравнять её к нулю:
1. Находим производную:
S' = (p - 2x) / 2.
2. Приравниваем производную к нулю:
(p - 2x) / 2 = 0.
3. Решаем уравнение:
p - 2x = 0
2x = p
x = p / 2.
Теперь подставим x обратно в уравнение для y:
y = (p - (p / 2)) / 2 = (p / 2) / 2 = p / 4.
Таким образом, мы нашли оптимальные размеры сторон:
- x = p / 2,
- y = p / 4.
Теперь мы можем выразить соотношение сторон:
Соотношение сторон x к y будет:
Соотношение = x / y = (p / 2) / (p / 4) = 2.
Ответ: Соотношение сторон, при котором максимизируется площадь прямоугольного треугольного участка земли, равно 2:1.
