Какое соотношение сторон прямоугольного треугольного участка земли нужно для того, чтобы максимизировать его площадь, если он ограждён с трёх сторон при заданном количестве p (периметр) погонных метров изгороди, а четвёртая сторона уже ограждена?

Алгебра 9 класс Оптимизация площади фигур прямоугольный треугольник максимизация площади периметр ограждение алгебра 9 класс задачи на оптимизацию Новый

Чтобы максимизировать площадь прямоугольного треугольного участка земли, который ограждён с трёх сторон, нам нужно рассмотреть, как связаны между собой длины сторон и периметр.

Обозначим:

• x - длина одной стороны (вдоль уже ограждённой стороны);
• y - длина другой стороны (перпендикулярно к ограждённой стороне).

Поскольку участок земли ограждён с трёх сторон, периметр будет равен:

P = x + 2y.

Мы знаем, что P = p (заданное количество погонных метров изгороди). Таким образом, мы можем выразить y через x:

y = (p - x) / 2.

Теперь мы можем выразить площадь S участка:

S = x * y.

Подставив y, получаем:

S = x * (p - x) / 2.

Теперь упростим это выражение:

S = (p * x - x^2) / 2.

Чтобы найти максимум площади, нам нужно найти производную S по x и приравнять её к нулю:

1. Находим производную:

S' = (p - 2x) / 2.

2. Приравниваем производную к нулю:

(p - 2x) / 2 = 0.

3. Решаем уравнение:

p - 2x = 0

2x = p

x = p / 2.

Теперь подставим x обратно в уравнение для y:

y = (p - (p / 2)) / 2 = (p / 2) / 2 = p / 4.

Таким образом, мы нашли оптимальные размеры сторон:

• x = p / 2,
• y = p / 4.

Теперь мы можем выразить соотношение сторон:

Соотношение сторон x к y будет:

Соотношение = x / y = (p / 2) / (p / 4) = 2.

Ответ: Соотношение сторон, при котором максимизируется площадь прямоугольного треугольного участка земли, равно 2:1.