Какое трехзначное число имеет следующие свойства: делится на 3 с остатком 2, на 5 с остатком 3 и на 7 с остатком 2?

Алгебра 9 класс Системы линейных сравнений трёхзначное число делится на 3 делится на 5 делится на 7 остаток 2 остаток 3 свойства числа Новый

Чтобы найти трехзначное число, которое удовлетворяет указанным условиям, начнем с того, что нам нужно решить систему сравнений:

• x ≡ 2 (mod 3)
• x ≡ 3 (mod 5)
• x ≡ 2 (mod 7)

Теперь рассмотрим каждое из условий по отдельности.

Шаг 1: Первое и третье условия

Первое и третье условия имеют одинаковый остаток 2. Это значит, что x может быть представлено в виде:

x = 3k + 2, где k - целое число.

Также, так как x ≡ 2 (mod 7), мы можем записать:

x = 7m + 2, где m - целое число.

Теперь приравняем оба выражения:

3k + 2 = 7m + 2.

Убираем 2 с обеих сторон:

3k = 7m.

Таким образом, мы можем выразить k через m:

k = (7/3)m.

Поскольку k должно быть целым числом, m должно быть кратно 3. Пусть m = 3n, тогда:

k = 7n.

Теперь подставим значение k в одно из выражений для x:

x = 3(7n) + 2 = 21n + 2.

Шаг 2: Второе условие

Теперь подставим x в второе условие x ≡ 3 (mod 5):

21n + 2 ≡ 3 (mod 5).

Сначала упростим 21 (mod 5):

21 ≡ 1 (mod 5), поэтому:

1n + 2 ≡ 3 (mod 5).

Убираем 2:

n ≡ 1 (mod 5).

Это значит, что n может быть записано как:

n = 5p + 1, где p - целое число.

Шаг 3: Подставляем n

Теперь подставим n обратно в выражение для x:

x = 21(5p + 1) + 2 = 105p + 21 + 2 = 105p + 23.

Шаг 4: Находим трехзначные числа

Теперь нам нужно найти такие значения p, при которых x остается трехзначным:

100 ≤ 105p + 23 ≤ 999.

Решим неравенство:

1. 100 ≤ 105p + 23
2. 77 ≤ 105p
3. p ≥ 77/105 ≈ 0.733 (то есть p ≥ 1, так как p - целое число)

1. 105p + 23 ≤ 999
2. 105p ≤ 976
3. p ≤ 976/105 ≈ 9.304 (то есть p ≤ 9)

Таким образом, p может принимать значения от 1 до 9. Теперь подставим эти значения в выражение для x:

• p = 1: x = 105*1 + 23 = 128
• p = 2: x = 105*2 + 23 = 233
• p = 3: x = 105*3 + 23 = 338
• p = 4: x = 105*4 + 23 = 443
• p = 5: x = 105*5 + 23 = 548
• p = 6: x = 105*6 + 23 = 653
• p = 7: x = 105*7 + 23 = 758
• p = 8: x = 105*8 + 23 = 863
• p = 9: x = 105*9 + 23 = 968

Шаг 5: Проверка условий

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные числа условиям:

• 128: 128 % 3 = 2, 128 % 5 = 3, 128 % 7 = 2
• 233: 233 % 3 = 2, 233 % 5 = 3, 233 % 7 = 2
• 338: 338 % 3 = 2, 338 % 5 = 3, 338 % 7 = 2
• 443: 443 % 3 = 2, 443 % 5 = 3, 443 % 7 = 2
• 548: 548 % 3 = 2, 548 % 5 = 3, 548 % 7 = 2
• 653: 653 % 3 = 2, 653 % 5 = 3, 653 % 7 = 2
• 758: 758 % 3 = 2, 758 % 5 = 3, 758 % 7 = 2
• 863: 863 % 3 = 2, 863 % 5 = 3, 863 % 7 = 2
• 968: 968 % 3 = 2, 968 % 5 = 3, 968 % 7 = 2

Все найденные числа удовлетворяют условиям. Таким образом, все числа 128, 233, 338, 443, 548, 653, 758, 863 и 968 являются правильными ответами.

Итак, трехзначные числа, которые делятся на 3 с остатком 2, на 5 с остатком 3 и на 7 с остатком 2, это: 128, 233, 338, 443, 548, 653, 758, 863 и 968.