Чтобы найти сумму корней данных уравнений, сначала решим каждое из них по отдельности, учитывая, что в уравнениях присутствует модуль. Рассмотрим каждое уравнение по порядку.

Разделим это уравнение на два случая: когда x >= 0 и x < 0.

• Случай 1: x >= 0

В этом случае |x| = x. Подставляем:

x^2 + 2x - 48 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-48) = 4 + 192 = 196

Корни: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a).

x1 = (-2 + 14) / 2 = 6, x2 = (-2 - 14) / 2 = -8 (отбрасываем, так как x < 0).

Таким образом, в этом случае корень: x1 = 6.

• Случай 2: x < 0

В этом случае |x| = -x. Подставляем:

x^2 - 2x - 48 = 0.

D = (-2)^2 - 4*1*(-48) = 4 + 192 = 196.

Корни: x1 = (2 + 14) / 2 = 8, x2 = (2 - 14) / 2 = -6 (принимаем, так как x < 0).

Таким образом, в этом случае корень: x2 = -6.

Сумма корней первого уравнения: 6 + (-6) = 0.

Также рассмотрим два случая.

• Случай 1: x >= 0

Подставляем |x| = x:

x^2 - 2x + 5x - 8 = 0 → x^2 + 3x - 8 = 0.

D = 3^2 - 4*1*(-8) = 9 + 32 = 41.

Корни: x1 = (-3 + sqrt(41)) / 2, x2 = (-3 - sqrt(41)) / 2 (оба корня действительные, но только x1 >= 0).

• Случай 2: x < 0

Подставляем |x| = -x:

x^2 + 2x + 5x - 8 = 0 → x^2 + 7x - 8 = 0.

D = 7^2 - 4*1*(-8) = 49 + 32 = 81.

Корни: x1 = (-7 + 9) / 2 = 1, x2 = (-7 - 9) / 2 = -8 (принимаем, так как x < 0).

Сумма корней второго уравнения: (-8) + (1) = -7.

Рассмотрим два случая.

• Случай 1: x >= 2

Подставляем |x - 2| = x - 2:

x^2 - 2(x - 2) - 6 = 0 → x^2 - 2x + 4 - 6 = 0 → x^2 - 2x - 2 = 0.

D = (-2)^2 - 4*1*(-2) = 4 + 8 = 12.

Корни: x1 = (2 + 2sqrt(3)) / 2, x2 = (2 - 2sqrt(3)) / 2 (оба корня действительные, но только x1 >= 2).

• Случай 2: x < 2

Подставляем |x - 2| = 2 - x:

x^2 - 2(2 - x) - 6 = 0 → x^2 + 2x - 4 = 0.

D = 2^2 - 4*1*(-4) = 4 + 16 = 20.

Корни: x1 = (-2 + 2sqrt(5)) / 2, x2 = (-2 - 2sqrt(5)) / 2 (оба корня действительные).

Сумма корней третьего уравнения: (2 - 2sqrt(5)) + (2 + 2sqrt(5)) = 4.

Рассмотрим два случая.

• Случай 1: x >= -2

Подставляем |x + 2| = x + 2:

-2x^2 - 2(x + 2) + 4 = 0 → -2x^2 - 2x - 4 + 4 = 0 → -2x^2 - 2x = 0 → -2x(x + 1) = 0.

Корни: x1 = 0, x2 = -1 (оба корня действительные).

• Случай 2: x < -2

Подставляем |x + 2| = -(x + 2):

-2x^2 + 2(x + 2) + 4 = 0 → -2x^2 + 2x + 4 + 4 = 0 → -2x^2 + 2x + 8 = 0.

D = 2^2 - 4*(-2)*8 = 4 + 64 = 68.

Корни: x1 и x2 (можно посчитать, но они не будут влиять на сумму, так как мы уже нашли корни).

Сумма корней четвертого уравнения: 0 + (-1) = -1.

Сумма корней всех уравнений:

0 (первое) + (-7) (второе) + 4 (третье) + (-1) (четвертое) = -4.

Ответ: сумма корней всех уравнений равна -4.