Какое значение высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника с периметром 60 см, обеспечивает максимальное значение площади этого треугольника?

Алгебра 9 класс Оптимизация площади треугольника высота равнобедренного треугольника площадь треугольника периметр треугольника максимальная площадь алгебра 9 класс Новый

Чтобы найти значение высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника с периметром 60 см, которое обеспечивает максимальную площадь, начнем с определения необходимых формул и шагов.

Шаг 1: Определение параметров треугольника

• Обозначим основание равнобедренного треугольника как "a", а боковые стороны как "b".
• Так как периметр равнобедренного треугольника равен 60 см, мы можем записать уравнение: 2b + a = 60.
• Из этого уравнения выразим "a": a = 60 - 2b.

Шаг 2: Формула площади треугольника

Площадь S равнобедренного треугольника можно выразить через основание и высоту:

S = (a * h) / 2, где h - высота, проведенная к основанию.

Шаг 3: Выражение высоты через боковые стороны

Чтобы выразить высоту h, воспользуемся теоремой Пифагора. Высота h делит основание a пополам, поэтому:

• h = sqrt(b^2 - (a/2)^2).

Подставим значение a из нашего уравнения:

• a/2 = (60 - 2b)/2 = 30 - b.
• Таким образом, h = sqrt(b^2 - (30 - b)^2).

Шаг 4: Подстановка в формулу площади

Теперь подставим h в формулу площади:

• S = (a * h) / 2 = ((60 - 2b) * sqrt(b^2 - (30 - b)^2)) / 2.

Шаг 5: Нахождение максимума площади

Для нахождения максимума площади S, нужно будет продифференцировать S по b и приравнять производную к нулю. Однако, чтобы упростить процесс, можно заметить, что максимальная площадь равнобедренного треугольника достигается, когда он становится равносторонним.

Шаг 6: Условия равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны равны, следовательно:

• 3b = 60, откуда b = 20 см.
• Так как a = 60 - 2b, то a = 60 - 40 = 20 см.

Шаг 7: Нахождение высоты

Теперь найдем высоту h равностороннего треугольника со стороной 20 см:

• h = (sqrt(3)/2) * a = (sqrt(3)/2) * 20 = 10sqrt(3) см.

Ответ: Высота, обеспечивающая максимальную площадь равнобедренного треугольника с периметром 60 см, составляет 10sqrt(3) см, что примерно равно 17.32 см.