Какова область определения и область значения функции y=4arcsin(2-3x)+π?

Алгебра 9 класс Область определения и область значения функций область определения функции область значения функции y=4arcsin(2-3x) функции arcsin алгебра 9 класс Новый

Для нахождения области определения и области значения функции y = 4arcsin(2 - 3x) + π, давайте разберем каждый шаг подробно.

1. Область определения:

Функция arcsin(x) определена только для значений x в диапазоне от -1 до 1, то есть:

• -1 ≤ x ≤ 1

В нашем случае мы имеем аргумент функции arcsin(2 - 3x). Чтобы найти область определения, нам нужно решить неравенство:

• -1 ≤ 2 - 3x ≤ 1

Решим это неравенство по частям:

1. Сначала решим неравенство 2 - 3x ≥ -1:
• Переносим 2 на правую сторону: -3x ≥ -3
• Делим обе стороны на -3 (не забываем поменять знак неравенства): x ≤ 1
2. Теперь решим неравенство 2 - 3x ≤ 1:
• Переносим 2 на правую сторону: -3x ≤ -1
• Делим обе стороны на -3 (также меняем знак неравенства): x ≥ 1/3

Таким образом, мы получили два условия:

• x ≤ 1
• x ≥ 1/3

Объединив эти условия, мы получаем область определения:

• 1/3 ≤ x ≤ 1

2. Область значения:

Теперь найдем область значения функции y = 4arcsin(2 - 3x) + π. Для этого сначала определим, как изменяется значение arcsin при пределах аргумента.

Когда x = 1/3, то:

• 2 - 3(1/3) = 2 - 1 = 1, тогда arcsin(1) = π/2

Когда x = 1, то:

• 2 - 3(1) = 2 - 3 = -1, тогда arcsin(-1) = -π/2

Теперь подставим эти значения в функцию y:

• y(1/3) = 4 * (π/2) + π = 2π + π = 3π
• y(1) = 4 * (-π/2) + π = -2π + π = -π

Таким образом, область значения функции будет от -π до 3π:

• -π ≤ y ≤ 3π

Итак, в итоге:

Область определения: 1/3 ≤ x ≤ 1

Область значения: -π ≤ y ≤ 3π