Каковы координаты точки касания, если прямая 3x+2y=c, где c - некоторое число, касается гиперболы y=6/x в точке с положительными координатами?

Алгебра 9 класс Касательные к кривым координаты точки касания прямая 3x+2y=c гипербола y=6/x алгебра 9 класс задачи на касание геометрия алгебры Уравнение касательной Новый

Чтобы найти координаты точки касания прямой 3x + 2y = c и гиперболы y = 6/x, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную гиперболы.

   Гипербола задана уравнением y = 6/x. Для нахождения производной используем правило дифференцирования:

   y' = -6/x².

2. Запишем уравнение касательной.

   Касательная прямая к гиперболе в точке (x₀, y₀) будет иметь вид:

   y - y₀ = y'(x₀)(x - x₀).

   Подставим y₀ = 6/x₀ и y'(x₀) = -6/x₀²:

   y - 6/x₀ = (-6/x₀²)(x - x₀).

   Упрощая, получаем:

   y = -6/x₀² * x + 12/x₀ + 6/x₀.

   Таким образом, уравнение касательной можно записать как:

   y = -6/x₀² * x + 18/x₀.

3. Сравним уравнение касательной с уравнением прямой.

   Прямая задана уравнением 3x + 2y = c. Перепишем это уравнение в виде y:

   2y = c - 3x => y = (c - 3x)/2.

   Теперь у нас есть два уравнения для y:

   • y = -6/x₀² * x + 18/x₀ (касательная)
   • y = (c - 3x)/2 (прямая)
4. Приравняем правые части уравнений.

   Сравнивая их, получаем:

   -6/x₀² * x + 18/x₀ = (c - 3x)/2.

   Умножим обе стороны на 2x₀², чтобы избавиться от дробей:

   -12x + 36x₀ = 2cx₀² - 6x₀².

   Переносим все в одну сторону:

   12x + 2cx₀² - 6x₀² - 36x₀ = 0.

   Это уравнение является квадратным относительно x.

5. Найдем условия для касания.

   Для того чтобы прямая касалась гиперболы, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:

   D = b² - 4ac = 0.

   Здесь:

   • a = 12,
   • b = 2c - 36,
   • c = -6.

   Подставляем в формулу дискриминанта:

   (2c - 36)² - 4 * 12 * (-6) = 0.

6. Решим уравнение для c.

   Раскроем скобки:

   (2c - 36)² = 288.

   Найдем корень:

   2c - 36 = ±√288.

   Решая это уравнение, найдем два значения для c.

7. Подставим c обратно в уравнение прямой.

   Теперь, зная c, мы можем найти координаты точки касания, подставив x₀ в уравнение гиперболы:

   y₀ = 6/x₀.

Таким образом, координаты точки касания можно будет найти после нахождения конкретного значения c и подстановки его в уравнение гиперболы. Это приведет к нахождению x₀ и y₀.