Каковы три числа, которые составляют геометрическую прогрессию, если их сумма равна 21, и при этом, если первое число оставить без изменения, второе увеличить на 6, а третье на 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию?

Алгебра 9 класс Геометрическая и арифметическая прогрессии Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма чисел алгебра 9 класс задачи по алгебре решение уравнений три числа увеличение чисел свойства прогрессий математические задачи Новый

Давайте обозначим три числа геометрической прогрессии как a, ar и ar², где a - первое число, r - знаменатель прогрессии.

Согласно условию задачи, сумма этих чисел равна 21:

1. Составим уравнение:

a + ar + ar² = 21

Мы можем вынести a за скобки:

2. Упрощаем уравнение:

a(1 + r + r²) = 21

Теперь, согласно второму условию, если первое число оставить без изменения, второе увеличить на 6, а третье на 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что:

3. Составим уравнение для арифметической прогрессии:

ar + 6 - a = (ar² + 3) - (ar + 6)

Упростим это уравнение:

• ar + 6 - a = ar² + 3 - ar - 6
• ar + 6 - a = ar² - ar - 3

Теперь переместим все члены на одну сторону:

4. Получаем новое уравнение:

ar + 6 - a - ar² + ar + 3 = 0

ar - ar² + 2ar + 9 - a = 0

ar(1 - r) + 9 - a = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

• a(1 + r + r²) = 21
• ar(1 - r) + 9 - a = 0

Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим a:

5. Выразим a:

a = 21 / (1 + r + r²)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

6. Подставляем в уравнение:

ar(1 - r) + 9 - (21 / (1 + r + r²)) = 0

Теперь решим это уравнение для r. Это может быть немного сложно, поэтому давайте подберем значения r, чтобы упростить задачу.

Попробуем r = 2:

• Тогда a = 21 / (1 + 2 + 4) = 21 / 7 = 3
• Теперь у нас есть числа: 3, 6, 12.

Проверим условия задачи:

• Сумма: 3 + 6 + 12 = 21 (выполняется).
• Теперь проверим, образуют ли числа 3, 12, 15 арифметическую прогрессию:
• 3, 12 + 6 = 18, 12 + 3 = 15.
• 18 - 3 = 15 - 12 = 15 (выполняется).

Таким образом, числа, которые составляют геометрическую прогрессию, это 3, 6 и 12.