Каковы все значения параметра a, при которых система уравнений

• x + y = a
• xy = 2a - 4

а) имеет единственное решение;

б) имеет ровно два решения;

в) не имеет решений?

Алгебра 9 класс Системы уравнений с параметрами значения параметра a система уравнений единственное решение два решения нет решений алгебра 9 класс Новый

Для того чтобы определить значения параметра a, при которых система уравнений:

• x + y = a
• xy = 2a - 4

имеет различные количества решений, начнем с того, что первое уравнение можно выразить через y:

y = a - x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

xy = 2a - 4

x(a - x) = 2a - 4

Раскроем скобки:

ax - x^2 = 2a - 4

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

x^2 - ax + (2a - 4) = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно x. Для анализа количества решений этого уравнения используем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac

где b = -a, a = 1, c = 2a - 4.

Подставим значения:

D = (-a)^2 - 4 * 1 * (2a - 4) = a^2 - 8a + 16.

Теперь упростим дискриминант:

D = a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2.

Теперь рассмотрим три случая в зависимости от значения дискриминанта:

а) Условия для единственного решения:

• Уравнение имеет единственное решение, если D = 0.
• (a - 4)^2 = 0
• Следовательно, a - 4 = 0, откуда a = 4.

б) Условия для ровно двух решений:

• Уравнение имеет два различных решения, если D > 0.
• (a - 4)^2 > 0.
• Это происходит, когда a ≠ 4.

в) Условия для отсутствия решений:

• Уравнение не имеет решений, если D < 0.
• Однако, так как (a - 4)^2 всегда больше или равно нуля, D не может быть меньше нуля.
• Следовательно, система уравнений не имеет случаев, когда не будет решений.

Подводя итог:

• а) Система имеет единственное решение при a = 4.
• б) Система имеет ровно два решения при a ≠ 4.
• в) Система не имеет решений при любых значениях a (так как D не может быть меньше нуля).