На отрезке [-2, 1] определите максимальное значение функции f(x) = (x - 3) / (3x - 4).

Алгебра 9 класс Экстремумы функций на отрезке максимальное значение функции отрезок [-2 1] алгебра 9 класс f(x) = (x - 3) / (3x - 4) анализ функции Новый

Чтобы найти максимальное значение функции f(x) = (x - 3) / (3x - 4) на отрезке [-2, 1], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Определим область определения функции. Функция f(x) определена, если знаменатель не равен нулю. То есть, мы должны решить уравнение:
• 3x - 4 ≠ 0
• 3x ≠ 4
• x ≠ 4/3

Поскольку 4/3 ≈ 1.33, это значение не входит в наш отрезок [-2, 1]. Следовательно, функция определена на всем отрезке.

2. Найдем производную функции. Чтобы найти критические точки, нужно взять производную функции и приравнять её к нулю:

f'(x) = [(3x - 4) * 1 - (x - 3) * 3] / (3x - 4)²

Упрощаем числитель:

f'(x) = (3x - 4 - 3x + 9) / (3x - 4)² = (5) / (3x - 4)²

Теперь приравняем производную к нулю:

5 / (3x - 4)² = 0

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю, но в данном случае он никогда не равен нулю, так как 5 ≠ 0. Это значит, что на отрезке [-2, 1] нет критических точек.

3. Оценим значения функции на концах отрезка. Теперь нам нужно найти значения функции f(x) на границах отрезка:
• f(-2) = (-2 - 3) / (3 * -2 - 4) = -5 / (-6 - 4) = -5 / -10 = 1/2
• f(1) = (1 - 3) / (3 * 1 - 4) = -2 / (3 - 4) = -2 / -1 = 2
4. Сравним значения функции. Мы нашли значения функции в крайних точках отрезка:
• f(-2) = 1/2
• f(1) = 2

Максимальное значение на отрезке [-2, 1] - это 2, которое достигается в точке x = 1.

Ответ: Максимальное значение функции f(x) на отрезке [-2, 1] равно 2.