Чтобы найти координаты точки пересечения параболы $y=x^2-8$ и прямой $y=x+12$, нужно решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 - 8 \ y = x + 12 \end{cases}$

Выразим из второго уравнения $x$ и подставим в первое уравнение:

$x = y - 12$

$(y - 12)^2 - 8 = y$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

$y^2 - 24y + 64 - 8 - y = 0$

$y^2 - 25y + 56 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 1 56 = 625 - 224 = 401$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{401}}{2} = \frac{25 + 20,02}{2} \approx 17,51$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{401}}{2} \approx -1,51$

Теперь найдём соответствующие значения $x$:

Если $y = 17,51$, то $x = y - 12 = 17,51 - 12 = 5,51$.

Если $y = -1,51$, то $x = -1,51 - 12 = -13,51$.

Ответ: точка пересечения имеет координаты $(5,51; 17,51)$.