Очень нужно! Помогите, пожалуйста! Из картона, который имеет форму прямоугольного треугольника, нужно вырезать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы две его стороны лежали на катетах треугольника, а одна из вершин - на гипотенузе. Какие размеры должен иметь такой прямоугольник, если катеты треугольника: 12 см и 4 см?

Алгебра 9 класс Оптимизация алгебра 9 класс задачи на максимальную площадь прямоугольный треугольник размеры прямоугольника катеты треугольника гипотенуза треугольника оптимизация площади геометрические задачи решение задач по алгебре Новый

Чтобы найти размеры прямоугольника наибольшей площади, который можно вырезать из прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 4 см, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты вершин треугольника.
   • Пусть одна вершина находится в начале координат (0, 0).
   • Вторая вершина будет на оси X в точке (12, 0).
   • Третья вершина будет на оси Y в точке (0, 4).
2. Запишем уравнение гипотенузы.
   • Гипотенуза соединяет точки (12, 0) и (0, 4).
   • Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для этого найдем наклон:
   • Коэффициент наклона (m) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 0) / (0 - 12) = -1/3.
   • Используя точку (12, 0), уравнение прямой можно записать в виде: y = -1/3 * x + 4.
3. Обозначим размеры прямоугольника.
   • Пусть длина прямоугольника по оси X равна x, а по оси Y равна y.
   • Так как одна из вершин прямоугольника лежит на гипотенузе, подставим x в уравнение гипотенузы:
   • y = -1/3 * x + 4.
4. Запишем площадь прямоугольника.
   • Площадь S = x * y = x * (-1/3 * x + 4).
   • Раскроем скобки: S = -1/3 * x^2 + 4x.
5. Найдем максимум площади.
   • Для нахождения максимума функции S = -1/3 * x^2 + 4x, найдем производную и приравняем её к нулю:
   • S' = -2/3 * x + 4 = 0.
   • Решим уравнение: -2/3 * x + 4 = 0 ⇒ 2/3 * x = 4 ⇒ x = 4 * 3/2 = 6.
6. Найдем значение y.
   • Подставим x = 6 в уравнение гипотенузы:
   • y = -1/3 * 6 + 4 = -2 + 4 = 2.
7. Итак, размеры прямоугольника.
   • Длина прямоугольника по оси X: 6 см.
   • Длина прямоугольника по оси Y: 2 см.

Таким образом, прямоугольник наибольшей площади, вырезанный из данного прямоугольного треугольника, будет иметь размеры 6 см и 2 см.