Определите промежутки, на которых функция возрастает или убывает, а также найдите точки экстремума и сами экстремумы для следующих функций:

1. y=2x-x^2
2. y=x^2-4x

Алгебра 9 класс Производная и её применение. Экстремумы функций функция возрастает функция убывает точки экстремума экстремумы алгебра 9 класс анализ функции производная функции нахождение максимумов нахождение минимумов Новый

Для решения задачи о нахождении промежутков, на которых функции возрастут или убывают, а также о нахождении точек экстремума, нам нужно проделать несколько шагов. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция y = 2x - x^2

Шаг 1: Найдем производную функции.

Производная функции y = 2x - x^2 равна:

y' = 2 - 2x.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю:

• 2 - 2x = 0
• 2 = 2x
• x = 1.

Шаг 3: Определим знаки производной.

Рассмотрим промежутки:

• Для x < 1: y' = 2 - 2x > 0 (функция возрастает).
• Для x > 1: y' = 2 - 2x < 0 (функция убывает).

Шаг 4: Определим точки экстремума и их значения.

Точка экстремума находится в x = 1. Подставим это значение в функцию:

• y(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1.

Таким образом, у нас есть:

• Точка экстремума: (1, 1)
• Максимум, так как функция возрастает до x = 1 и убывает после.

2. Функция y = x^2 - 4x

Шаг 1: Найдем производную функции.

Производная функции y = x^2 - 4x равна:

y' = 2x - 4.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю:

• 2x - 4 = 0
• 2x = 4
• x = 2.

Шаг 3: Определим знаки производной.

Рассмотрим промежутки:

• Для x < 2: y' = 2x - 4 < 0 (функция убывает).
• Для x > 2: y' = 2x - 4 > 0 (функция возрастает).

Шаг 4: Определим точки экстремума и их значения.

Точка экстремума находится в x = 2. Подставим это значение в функцию:

• y(2) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4.

Таким образом, у нас есть:

• Точка экстремума: (2, -4)
• Минимум, так как функция убывает до x = 2 и возрастает после.

Итоги:

• Для функции y = 2x - x^2:
  • Возрастает на (-∞, 1)
  • Убывает на (1, +∞)
  • Экстремум: (1, 1) - максимум.
• Для функции y = x^2 - 4x:
  • Убывает на (-∞, 2)
  • Возрастает на (2, +∞)
  • Экстремум: (2, -4) - минимум.