Помогите, пожалуйста, решить иррациональное неравенство:

Корень из (2x^2 - 7x - 4) > -x - (1/4)

Алгебра 9 класс Иррациональные неравенства иррациональное неравенство решение неравенства алгебра 9 класс корень из выражения неравенства с корнями алгебраические задачи математические решения учебник алгебры Новый

Для решения иррационального неравенства √(2x² - 7x - 4) > -x - 1/4 будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Изолируем корень.

Переносим все части неравенства в одну сторону:

√(2x² - 7x - 4) + x + 1/4 > 0

Шаг 2: Определим область определения.

Чтобы неравенство имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное выражение:

2x² - 7x - 4 ≥ 0

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения 2x² - 7x - 4 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81.
• Корни: x₁ = (7 + √81) / (2 * 2) = (7 + 9) / 4 = 4, x₂ = (7 - √81) / (2 * 2) = (7 - 9) / 4 = -0.5.

Теперь мы имеем корни x₁ = 4 и x₂ = -0.5. Для нахождения промежутков, где 2x² - 7x - 4 ≥ 0, исследуем знак многочлена на интервалах:

• (-∞, -0.5)
• (-0.5, 4)
• (4, +∞)

Подставляем тестовые значения из каждого интервала:

• Для x = -1: 2(-1)² - 7(-1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 (положительно).
• Для x = 0: 2(0)² - 7(0) - 4 = -4 (отрицательно).
• Для x = 5: 2(5)² - 7(5) - 4 = 50 - 35 - 4 = 11 (положительно).

Таким образом, неравенство 2x² - 7x - 4 ≥ 0 выполняется на интервалах:

x ∈ (-∞, -0.5] ∪ [4, +∞).

Шаг 3: Решаем неравенство.

Теперь вернемся к нашему неравенству:

√(2x² - 7x - 4) + x + 1/4 > 0.

Мы знаем, что √(2x² - 7x - 4) ≥ 0, поэтому нам нужно решить:

x + 1/4 > 0.

Это неравенство выполняется, когда:

x > -1/4.

Шаг 4: Объединяем результаты.

Теперь мы должны найти пересечение интервалов:

• Из области определения: x ∈ (-∞, -0.5] ∪ [4, +∞).
• Из неравенства: x > -1/4.

Пересечение:

• Для первого интервала (-∞, -0.5] пересечение с x > -1/4 не дает решений.
• Для второго интервала [4, +∞) пересечение с x > -1/4 дает [4, +∞).

Ответ: Решение неравенства: x ∈ [4, +∞).