При каких значениях A квадратные трехчлены x^2 + ax + 1 и x^2 + x + a имеют общий корень?

Алгебра 9 класс Общие корни многочленов значения a квадратные трёхчлены общий корень алгебра 9 класс уравнения решение уравнений Новый

Чтобы определить, при каких значениях A квадратные трехчлены x^2 + ax + 1 и x^2 + x + a имеют общий корень, начнем с обозначения этого общего корня. Пусть r - это общий корень. Тогда мы можем записать два уравнения:

1. r^2 + ar + 1 = 0 (из первого трехчлена)
2. r^2 + r + a = 0 (из второго трехчлена)

Теперь, так как оба выражения равны нулю, мы можем приравнять их:

r^2 + ar + 1 = r^2 + r + a

Упростим это уравнение. Выразим его в более удобной форме:

ar + 1 = r + a

Теперь перенесем все члены с r в одну сторону, а остальные в другую:

ar - r = a - 1

Факторизуем левую часть:

r(a - 1) = a - 1

Теперь у нас есть два случая:

1. Случай 1: a - 1 = 0. Это означает, что a = 1.
2. Случай 2: r = 1 (если a - 1 ≠ 0).

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: a = 1

Подставим a = 1 в оба трехчлена:

• Первый: x^2 + 1x + 1
• Второй: x^2 + x + 1

Оба трехчлена имеют одинаковую форму, и, следовательно, любой корень будет общим.

Случай 2: r = 1

Подставим r = 1 в одно из уравнений, например, в первое:

1^2 + a(1) + 1 = 0

Это уравнение упрощается до:

1 + a + 1 = 0 a + 2 = 0

Таким образом, a = -2.

Теперь у нас есть два значения для a, при которых два квадратных трехчлена имеют общий корень:

• a = 1
• a = -2

Таким образом, ответ: a = 1 или a = -2.