При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения x^2+2ax+2a^2+4a+3=0 достигает максимума? Каково значение этой суммы?

Алгебра 9 класс Сумма корней и её свойства значения a сумма квадратов корней уравнение максимума алгебра 9 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что у нас есть квадратное уравнение:

x^2 + 2ax + (2a^2 + 4a + 3) = 0.

Сначала найдем корни этого уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 2a, c = 2a² + 4a + 3.

Подставим значения a, b и c:

1. Дискриминант D = b² - 4ac = (2a)² - 4 * 1 * (2a² + 4a + 3).
2. Раскроем скобки: D = 4a² - 8a² - 16a - 12 = -4a² - 16a - 12.

Теперь у нас есть выражение для дискриминанта. Чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть больше или равен нулю:

-4a² - 16a - 12 ≥ 0.

Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

4a² + 16a + 12 ≤ 0.

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

1. Находим дискриминант D1 = 16² - 4 * 4 * 12 = 256 - 192 = 64.
2. Корни: a1,2 = (-16 ± √64) / (2 * 4) = (-16 ± 8) / 8.
3. Корни: a1 = -1, a2 = -3.

Теперь у нас есть корни -1 и -3. Квадратная функция 4a² + 16a + 12 имеет параболу, открывающуюся вверх, поэтому она будет меньше или равна нулю между корнями:

-3 ≤ a ≤ -1.

Теперь найдем сумму квадратов корней уравнения:

Сумма корней квадратного уравнения (по формуле Виета) равна -b/a = -2a. Сумма квадратов корней равна:

(x1 + x2)² - 2x1x2 = (-2a)² - 2c/a = 4a² - 2(2a² + 4a + 3).

Подставим значение c:

1. Сумма квадратов корней = 4a² - (4a² + 8a + 6) = -8a - 6.

Теперь нужно найти максимальное значение этой функции на отрезке -3 ≤ a ≤ -1. Это линейная функция, которая достигает максимума на краях отрезка:

• При a = -3: S = -8(-3) - 6 = 24 - 6 = 18.
• При a = -1: S = -8(-1) - 6 = 8 - 6 = 2.

Таким образом, максимальное значение суммы квадратов корней достигается при a = -3 и равно 18.

Ответ: Максимум суммы квадратов корней достигается при a = -3, и значение этой суммы равно 18.