Рассмотрим уравнение (x-a)(x²-5x+4)=0. Это уравнение имеет два множителя: (x-a) и (x²-5x+4). Решение данного уравнения будет зависеть от корней каждого из множителей.

Первый множитель (x-a) равен нулю, когда x=a, то есть у нас есть один корень x1=a.

Теперь найдем корни второго множителя x²-5x+4. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

Корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 находятся по формуле:

• x1,2 = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

В нашем случае a=1, b=-5, c=4. Подставим значения:

• D = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9

Так как дискриминант D положителен, у нас два различных корня:

• x2 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4
• x3 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1

Таким образом, корни уравнения (x-a)(x²-5x+4)=0: x1=a, x2=4, x3=1.

Теперь у нас есть три корня: a, 4 и 1. Чтобы они были различными, необходимо, чтобы a не равнялось 1 и 4:

• a ≠ 1
• a ≠ 4

Теперь рассмотрим условия для образования прогрессий.

Три числа образуют арифметическую прогрессию, если разности между последовательными членами одинаковы. То есть:

• 4 - a = a - 1

Решим это уравнение:

• 4 - a = a - 1
• 4 + 1 = 2a
• 5 = 2a
• a = 2.5

При a = 2.5 корни 2.5, 4 и 1 образуют арифметическую прогрессию.

Три числа образуют геометрическую прогрессию, если отношение между последовательными членами одинаковы. То есть:

• 4 / a = a / 1

Решим это уравнение:

• 4 = a²
• a = √4
• a = 2 или a = -2

При a = 2 или a = -2 корни 2, 4 и 1 образуют геометрическую прогрессию.

Таким образом, подводя итог:

• Для арифметической прогрессии a = 2.5.
• Для геометрической прогрессии a = 2 или a = -2.