При каких значениях k оба корня уравнения x^2 - 2k + k^2 - 1 находятся в пределах промежутка (-1; 3)?

Алгебра 9 класс Неравенства и интервал уравнение корни алгебра 9 значения k промежуток (-1; 3) Новый

Чтобы найти значения k, при которых оба корня уравнения x^2 - 2k + k^2 - 1 = 0 находятся в промежутке (-1; 3), сначала найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения.

У нас есть уравнение в форме ax^2 + bx + c = 0, где:

• a = 1
• b = -2k
• c = k^2 - 1

Корни уравнения можно найти по формуле:

x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Подставим значения a, b и c в формулу:

x1,2 = (2k ± √((-2k)^2 - 4 * 1 * (k^2 - 1))) / 2

Упростим выражение под корнем:

• (-2k)^2 = 4k^2
• 4 * 1 * (k^2 - 1) = 4k^2 - 4

Таким образом, под корнем будет:

4k^2 - (4k^2 - 4) = 4

Теперь подставим это в формулу для корней:

x1,2 = (2k ± 2) / 2 = k ± 1

Итак, корни уравнения:

• x1 = k + 1
• x2 = k - 1

Теперь нам нужно, чтобы оба корня находились в промежутке (-1; 3). Это значит, что:

• -1 < k - 1 < 3
• -1 < k + 1 < 3

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Для первого неравенства:

1. -1 < k - 1: k > 0
2. k - 1 < 3: k < 4

Таким образом, из первого неравенства получаем: 0 < k < 4.

2. Для второго неравенства:

1. -1 < k + 1: k > -2
2. k + 1 < 3: k < 2

Таким образом, из второго неравенства получаем: -2 < k < 2.

Теперь нужно объединить оба условия:

• 0 < k < 4
• -2 < k < 2

Объединяя эти два промежутка, получаем: 0 < k < 2.

Таким образом, значения k, при которых оба корня уравнения находятся в пределах промежутка (-1; 3), это 0 < k < 2.