При каком значении параметра c можно найти угол alpha, при котором sin alpha и cos alpha станут корнями квадратного уравнения 5x^2 + 6x + c = 0?

Алгебра 9 класс Параметрические уравнения и тригонометрические функции угол alpha sin alpha cos alpha корни квадратного уравнения параметр c квадратное уравнение алгебра 9 класс Новый

Для того чтобы найти значение параметра c, при котором sin alpha и cos alpha являются корнями квадратного уравнения 5x^2 + 6x + c = 0, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами синуса и косинуса.

Сначала вспомним, что для любого угла alpha выполняется следующее соотношение:

sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1

Пусть sin alpha = a и cos alpha = b. Тогда у нас есть:

• a^2 + b^2 = 1
• 5x^2 + 6x + c = 0

Так как a и b являются корнями уравнения, то по теореме Виета мы знаем, что:

• a + b = -b/a = -6/5
• ab = c/a = c/5

Теперь выразим a и b через их сумму и произведение:

• a + b = -6/5
• ab = c/5

Из первого уравнения можно выразить b:

b = -6/5 - a

Теперь подставим это значение b во второе уравнение (ab = c/5):

a(-6/5 - a) = c/5

Умножим обе стороны на 5, чтобы избавиться от дроби:

5a(-6/5 - a) = c

Упростим левую часть:

-6a - 5a^2 = c

Теперь у нас есть выражение для c через a. Но мы также знаем, что a^2 + b^2 = 1. Подставим b:

a^2 + (-6/5 - a)^2 = 1

Теперь раскроем скобки:

a^2 + (36/25 + 12a/5 + a^2) = 1

Соберем все подобные члены:

2a^2 + 12a/5 + 36/25 - 1 = 0

Упростим уравнение:

2a^2 + 12a/5 + 11/25 = 0

Теперь умножим все уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей:

50a^2 + 60a + 11 = 0

Теперь мы можем найти дискриминант D этого квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = 60^2 - 4 50 11

Посчитаем:

D = 3600 - 2200 = 1400

Так как D > 0, у нашего уравнения есть два различных корня. Теперь мы можем найти значение параметра c, подставив корни a в выражение c = -6a - 5a^2.

Таким образом, значение параметра c, при котором sin alpha и cos alpha становятся корнями данного квадратного уравнения, можно найти, подставив найденные значения a и b в уравнение для c. В результате мы получаем:

c = -6a - 5a^2

Таким образом, значение c зависит от конкретных значений a, которые мы получим при решении квадратного уравнения.