Решите следующие неравенства:

1. √(x-1) < -x + 3
2. √(x-1) < 2/x

Алгебра 9 класс Неравенства с корнями и дробями неравенства алгебра 9 класс решение неравенств квадратный корень математические задачи Новый

Решение неравенства 1: √(x-1) < -x + 3

Для начала, давайте определим область допустимых значений для выражения √(x-1). Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, мы имеем:

• x - 1 ≥ 0
• x ≥ 1

Теперь у нас есть область допустимых значений: x ≥ 1.

Следующим шагом мы можем возвести обе стороны неравенства в квадрат, но при этом нужно учитывать, что -x + 3 должно быть неотрицательным, чтобы не нарушить знак неравенства:

• -x + 3 ≥ 0
• x ≤ 3

Таким образом, из области допустимых значений мы получаем: 1 ≤ x ≤ 3.

Теперь можем возвести обе стороны неравенства в квадрат:

√(x-1) < -x + 3 <=> (√(x-1))^2 < (-x + 3)^2

Это приводит нас к следующему неравенству:

x - 1 < (x - 3)^2

Раскроем скобки:

x - 1 < x^2 - 6x + 9

Переносим все в одну сторону:

0 < x^2 - 7x + 10

Теперь решим неравенство:

x^2 - 7x + 10 = 0

Находим корни уравнения:

x = (7 ± √(49 - 40)) / 2 = (7 ± 3) / 2

Корни: x = 5 и x = 2.

Теперь определим знаки на интервалах (1, 2), (2, 5) и (5, 3):

• При x < 2: (x - 5)(x - 2) > 0
• При 2 < x < 5: (x - 5)(x - 2) < 0
• При x > 5: (x - 5)(x - 2) > 0

Таким образом, решение неравенства x^2 - 7x + 10 > 0 будет в интервалах: (-∞, 2) и (5, +∞).

Но учитывая область допустимых значений (1 ≤ x ≤ 3), окончательное решение будет:

1 ≤ x < 2

Решение неравенства 2: √(x-1) < 2/x

Сначала определим область допустимых значений для этого неравенства:

• x - 1 ≥ 0 <=> x ≥ 1
• 2/x > 0 <=> x > 0

Таким образом, область допустимых значений: x ≥ 1.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

√(x-1) < 2/x <=> (√(x-1))^2 < (2/x)^2

Это приводит нас к следующему неравенству:

x - 1 < 4/x^2.

Умножим обе стороны на x^2 (при условии, что x > 0):

x^3 - x^2 < 4.

Переносим все в одну сторону:

x^3 - x^2 - 4 < 0.

Теперь решим уравнение x^3 - x^2 - 4 = 0. Это кубическое уравнение, его можно решить, например, методом проб. Подбором находим, что x = 3 является корнем.

Теперь мы можем разложить многочлен:

(x - 3)(x^2 + 2x + 4) < 0.

Так как x^2 + 2x + 4 всегда положительно (дискриминант отрицательный), то знак неравенства будет определяться только первым множителем:

• x - 3 < 0 <=> x < 3.

С учетом области допустимых значений x ≥ 1, окончательное решение будет:

1 ≤ x < 3

Таким образом, мы получили решения для обоих неравенств:

• √(x-1) < -x + 3: 1 ≤ x < 2
• √(x-1) < 2/x: 1 ≤ x < 3