В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов; CN - высота; AB = 51, tg A = 1/4. Каким образом можно вычислить длину отрезка AN?

Алгебра 9 класс Треугольники и их свойства алгебра 9 класс треугольник ABC угол C 90 градусов высота CN длина отрезка AN tg A 1/4 вычисление отрезка задача по геометрии Новый

Для решения задачи, давайте начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Мы знаем, что AB = 51 и tan A = 1/4. Нам необходимо найти длину отрезка AN, где N - основание высоты CN, опущенной из вершины C на сторону AB.

1. Определим стороны треугольника с помощью тангенса угла A.

• По определению тангенса, tg A = противолежащий катет / прилежащий катет. Обозначим:
• BC = a (противолежащий катет),
• AC = b (прилежащий катет).
• Так как tg A = 1/4, мы можем записать:
• a / b = 1/4.
• Отсюда следует, что a = b/4.

2. Используем теорему Пифагора.

• В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора имеем:
• AB^2 = AC^2 + BC^2.
• Подставим известные значения:
• 51^2 = b^2 + (b/4)^2.
• Решим это уравнение:
• 2601 = b^2 + b^2/16.
• 2601 = 16b^2/16 + b^2/16 = 17b^2/16.
• 2601 * 16 = 17b^2.
• 41616 = 17b^2.
• b^2 = 41616 / 17.
• b^2 = 2447.8824.
• b = √2447.8824 ≈ 49.47.
• Теперь найдём a: a = b/4 ≈ 49.47/4 ≈ 12.37.

3. Находим длину отрезка AN.

• Теперь у нас есть длины катетов AC и BC:
• AC ≈ 49.47,
• BC ≈ 12.37.
• Используем высоту CN, чтобы найти AN. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:
• 1) Через катеты: S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 49.47 * 12.37.
• 2) Через основание AB и высоту CN: S = (1/2) * AB * CN.
• Решим для CN:
• CN = (2 * S) / AB.

4. Найдём AN через подобие треугольников.

• В треугольнике ANC и треугольнике CBN угол C общий, а угол A и угол B соответственно прямые. Следовательно, треугольники ANC и CBN подобны.
• Из подобия треугольников получаем:
• AN / AC = CN / BC.
• AN = (AC * CN) / BC.

Теперь, зная AC, BC и CN, мы можем найти AN. Подставив значения, получаем длину отрезка AN.

Таким образом, мы можем вычислить длину отрезка AN, используя данные о сторонах треугольника и высоте.