В1. Чтобы найти среднее арифметическое целых значений переменной x из области определения функции y = √((6 - x - x²) / (2x² + 7x + 3)), необходимо сначала определить область определения функции.

• Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, нужно решить неравенство: 6 - x - x² ≥ 0.
• Перепишем его в стандартной форме: -x² - x + 6 ≥ 0. Умножим обе стороны на -1 (неравенство поменяет знак): x² + x - 6 ≤ 0.
• Теперь найдем корни уравнения x² + x - 6 = 0 с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = 1 + 24 = 25.
• Корни: x1 = (-1 + 5) / 2 = 2 и x2 = (-1 - 5) / 2 = -3.
• Теперь определим промежутки: x² + x - 6 ≤ 0, это выполняется на интервале [-3, 2].

Целые значения x из этого интервала: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Теперь найдем среднее арифметическое: ( -3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 ) / 6 = -3 / 6 = -0.5.

В2. В кубе ABCDA1B1C1D1, K и P — середины ребер A1D1 и C1D1. Площадь треугольника KDP равна 6. Нам нужно найти площадь полной поверхности куба.

• Обозначим длину ребра куба как a.
• Координаты точек: K = (0, a/2, a), P = (a/2, a, a), D = (0, 0, a).
• Сначала найдем длины сторон треугольника KDP: KD, DP и KP.
• Используя формулу для площади треугольника через координаты, получим: S = 1/2 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|.
• Подставив координаты и упростив, найдем, что S = a²/8.
• Поскольку S = 6, получаем a²/8 = 6, откуда a² = 48, a = √48 = 4√3.
• Площадь полной поверхности куба: 6 * a² = 6 * 48 = 288.

В3. В параллелограмме одна сторона равна одной из диагоналей и равна 8, а длина второй диагонали равна 8√2. Нужно найти площадь S параллелограмма.

• Обозначим сторону как a = 8 и диагональ как d = 8√2.
• Известно, что для параллелограмма S = (1/2) * d1 * d2 * sin(α), где d1 и d2 — диагонали.
• Сторона равна одной из диагоналей, значит, d1 = 8 и d2 = 8√2.
• Площадь: S = (1/2) * 8 * 8√2 * sin(α). Поскольку α = 45°, sin(α) = √2/2.
• Подставляем: S = (1/2) * 8 * 8√2 * √2/2 = 32.
• Теперь найдем √(7S) = √(7 * 32) = √224 = 4√14.

В4. Для уравнения (x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = 170 нужно найти произведение корней.

• Сначала упростим уравнение: (x² + 2x - 6)(x² + 9x + 15) = 170.
• Переносим 170 в левую часть: (x² + 2x - 6)(x² + 9x + 15) - 170 = 0.
• Обозначим P = x² + 2x - 6 и Q = x² + 9x + 15. Тогда уравнение можно решить через P и Q.
• Согласно теореме Виета, произведение корней уравнения равно c/a, где c — свободный член, a — коэффициент при x².
• Найдем значение c и a и подставим в формулу.

В5. Для нахождения максимального произведения xy в системе: 2x² - 2xy + 3y² = 3 и 3x² - 3xy + 2y² = 2, используем метод подстановки.

• Решим первое уравнение относительно y: 2x² - 3 = 2xy - 3y².
• Подставим y из первого уравнения во второе и найдем x.
• После нахождения x, подставим его обратно, чтобы найти y.
• Теперь находим произведение xy и ищем максимальное значение.

В6. Для нахождения трехзначного числа, сумма цифр которого равна 11, а сумма квадратов равна 69, используем систему уравнений.

• Обозначим трехзначное число как abc, где a, b, c — его цифры.
• Составим уравнения: a + b + c = 11 и a² + b² + c² = 69.
• Также учтем, что a, b, c — целые числа от 0 до 9.
• Решим систему уравнений и найдем возможные значения a, b, c.
• Проверим условие, что при добавлении 693 число меняет порядок цифр.