2025-09-18 20:55:36
Задача:
Найти точное значение суммы:
Σ(1/n^3) от n=1 до бесконечности
и определить значение:
ζ(3) = 1 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ...
Алгебра 9 класс Бесконечные суммы и ряды алгебра 9 сумма Σ(1/n^3) ζ(3) точное значение бесконечность математические задачи числовые последовательности ряды конвергенция Новый
2025-09-18 20:55:44
Чтобы найти точное значение суммы Σ(1/n^3) от n=1 до бесконечности, мы можем воспользоваться понятием функции Римана дзета, которая обозначается как ζ(s). В данном случае мы ищем ζ(3), где s = 3.
Шаги решения:
- Определение функции Римана дзета: Функция Римана дзета определяется как:
- ζ(s) = Σ(1/n^s), где сумма берется от n=1 до бесконечности.
- Спецификация для ζ(3): В нашем случае s = 3, поэтому:
- ζ(3) = 1 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ...
- Известное значение ζ(3): Значение ζ(3) называется "константой Апери" и является известным числом в математике. Оно не может быть выражено через элементарные функции, но его численное значение примерно равно 1.2020569.
- Доказательство и свойства: ζ(3) является иррациональным числом, и его доказательство было выполнено в 1978 году математиком Рожером Апери. Это означает, что ζ(3) не может быть выражено в виде дроби.
Таким образом, точное значение суммы Σ(1/n^3) от n=1 до бесконечности равно ζ(3), и его численное значение приближенно равно 1.2020569. Это важное значение в теории чисел и аналитической теории чисел.